GEOMETRÍA DEL ESPACIO I EJERCICIOS DESARROLLADOS

1. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 4 puntos no coplanares.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 4 E) 6

RESOLUCIÓN


Z: Número de planos

RPTA.: D

2. Calcule el máximo número de planos que quedan determinados con 20 puntos y 40 rectas.

A) 2 720 B) 2 820 C) 2 630
D) 2 650 E) 2 550

RESOLUCIÓN
20 Puntos         1 140
40 Rectos            780
20 Puntos y 40 rectas    20 x40      800
  2 720
RPTA.: A

3. De las siguientes proposiciones Indicar verdadero (V) o falso (F)
* Tres puntos determinan siempre un plano.
* Dos rectas determinan siempre un plano.
* Una recta y un punto exterior a ella.
* Si una recta es perpendicular a un plano, será perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.
 
A) VVVV B) FFFF C) VVFF
D) FFVV E) FVFV

RESOLUCIÓN
*    (F) Porque 3 puntos colineales no determinan un plano.
*     (F) Porque 2 rectas que se cruzan no determinan un plano.
*       (V) Determinación de planos.
*   (V) Por recta perpendicular a un plano.
RPTA.: D

4. En la siguiente figura, la arista del cubo mide 2m. ¿Cuál es la longitud menor para ir de M a D recorriendo la superficie del cubo?

RESOLUCIÓN
Llevando los arcos LMNP y ALPD a un plano se tiene la figura
Pitágoras


RPTA.: D

5. En un cubo, la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es  . Calcule la longitud de su arista

A) 1m B) 2m C) 3m D) 4m E) 6m

RESOLUCIÓN

1)
……………………………………

2) Pitágoras (         ABO)
……………………………

3)      en

a = 2m
RPTA.: B

6. En el cubo mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas  .

A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E)  60°

RESOLUCIÓN

1) Trazar:   //
2) El Triángulo ABC es equilátero porque sus lados son diagonales del cuadrado.


RPTA.: E

7. En el tetraedro regular mostrado, calcule la medida del ángulo que forman las rectas  .

A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 75°
E) 90°

RESOLUCIÓN

1) Trazar las alturas   de las caras ABC y DBC.
2)  es perpendicular al plano ADH porque es perpendicular a  .
3)  es perpendicular a   que está contenida en el plano ADH.
RPTA.: E

8. Por un punto exterior a una recta. ¿Cuántas perpendiculares a dicha recta se pueden trazar?

A) una B) dos C) tres
D) infinitas E) cero

RESOLUCIÓN

1) P es un punto exterior a la recta L.
2) Por P se traza un plano H perpendicular a la recta L.
3) L es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano H.
 Por P pasan infinitas rectas contenidas en el plano H.
RPTA.: D

9. En una circunferencia de centro “O” y cuyo diámetro mide 6 cm. Por O se levanta una perpendicular OF al plano que contiene a la circunferencia,              OF = 4 cm. Calcule la distancia de F a cualquier recta tangente a dicha circunferencia.

A) 4 cm B) 5 cm   C) 6 cm
D) 7 cm   E) 8 cm

RESOLUCIÓN


1) Dato OF = 4 cm
2) radio =
3) L es una recta tangente a la circunferencia
4) Por teorema de las 3 perpendiculares
Luego FT es la distancia de          F a

5)       FOT Pitágoras
FT = 5 cm
RPTA.: B

10. Calcule la medida de la altura de un tetraedro regular cuya arista mide L.

RESOLUCIÓN

1) “O” es el circuncentro del triángulo ABC

 ………………………………………
2)      AOD: Pitágoras

……………………………….

3)       en

RPTA.: D

11. Sea “P” un punto exterior al plano que contiene a un rectángulo ABCD, PA = 15, PC = 20, PB = 7. Calcule PD

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 25

RESOLUCIÓN

Teorema de la mediana

Igualando

x = 24
RPTA.: D

12. En un  triangulo rectángulo ABC recto en B, AB = 6 y BC= 8. Por su incentro I, se levanta la perpendicular IH al plano que contiene dicho triángulo, siendo IH = 3. Calcule HC  

A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 10

RESOLUCIÓN
1)     ABC Teorema de Porcelet

6 + 8 = 10 + 2r
r = 2 ....................................

2) r + z = 8
    2 +z == z = 6 .. ................

3) Por teorema de las 3 perpendiculares
 porque   plano ABC y

4)       Pitágoras
 ………………………………
5)              en
 ………………..…………
6)     HFC Pitágoras
     ……………….………

7)        y en


x = 7
RPTA.: C


13. En la figura, P, Q y R son planos paralelos y   y   son rectas alabeadas, AB = 3, BC = 4,            DE = x - 1, EF = x + 2.           Calcule x.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN

Teorema de Thales

x = 10
RPTA.: E

14. El área de la región triangular ABC es 50   por   se traza un plano que forma un diedro de 60º con el plano del triángulo. ¿Calcule el área de la proyección de dicha región sobre el plano?

RESOLUCIÓN

Incógnita Área (AHC)
1) Por teoría
Área (AHC)= Área (ABC)  cos 60°
Área (AHC)=

RPTA.: C

15. Un folder de dimensiones            4u y 8u se halla abierto según muestra la figura; el ángulo que forman las caras entre si mide 120°. Calcule PQ.


RESOLUCIÓN

Pitágoras      PAQ

RPTA.: B

16. Se tiene un ángulo triedro trirrectángulo de vértice O. Sobre sus aristas se toman las longitudes OA = OB = OC = 8. Calcule la medida del diedro BC.

A) Arc cos  
B) Arc cos
C) Arc cos  
D) Arc cos  
E) Arc cos


RESOLUCIÓN
Área (BOC)= Área (ABC) cos

RPTA.: E

17. En  la  figura, P - ABC   es   un ángulo triedro trirrectángulo  . Calcule el área de la región triangular ABC.

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

18. Calcule el área de la superficie de un icosaedro regular cuya arista mide  .
RESOLUCIÓN

a: medida de la arista del icosaedro.
S: Área de la superficie del icosaedro regular.

Dato
2)

RPTA.: D

19. Calcule el número de vértices de un poliedro convexo formado por 60 triángulos y 80 cuadriláteros.

A) 60 B) 88 C) 92 D) 112 E) 140

RESOLUCIÓN
1) Teorema de Euler C +V = A + 2….

2)  ………………..…

3)  ………

4)          y          en

140 + V = 250 + 2

V = 112
RPTA.: B

20. En el cubo mostrado, calcule la distancia entre las rectas   y  , si = AB =  .

A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm


RESOLUCIÓN

1)       ABC Pitágoras
……………………………………….
2)    ECD Pitágoras
………………………..
3)      en
…………………………………...
4)     ECD     OHD
Elevando al cuadrado
………………………………...
5)       y          en
x = 1
RPTA.: A

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