CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS DESARROLLADOS IMPRIMIR GRATIS


 
 





1. En un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos  miden   37° y    53°. Calcule  la relación entre las medidas inradio y el circunradio.

A) 2/5 B) 1/5          C)3/10 D) 3/5 E) 2/7

RESOLUCIÓN

r = Inradio
R:  Circunradio

   ABC: Teorema de Poncelet.
3k + 4k = 5k + 2r
     2r = 2k     ………...
Luego:
AC = 2R= 5k    …………
 
RPTA.: A

2. En un triángulo rectángulo las medidas del inradio y el circunradio están en la relación de 1 a 3. Calcule la longitud del inradio si el perímetro del triángulo es 42.

A) 2   B) 2   C) 3
D) 3       E) 6
RESOLUCIÓN

r   Inradio
R = Circunradio

Dato:   a + b + c = 42 ……….
  R = 3r   ………..

: Teorema de Poncelet.
a + c = b + 2r  ……….

    en      :  b + 2r + b = 42


2R + 2r +2R = 42
 2R + r = 21…....  
     en    :  2(3r) +r = 21  r=3 RPTA.: C

3. En    un      rectángulo    ABCD  se traza  la bisectriz del ángulo B, interceptando en “E” a  . Calcule  la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero BEDC,  si  ésta   determina  el punto “N” en   y BN – NE = 16.
A) 16 B) 12 C) 10
D) 8 E) 4

RESOLUCIÓN
Dato:
 …..
BC = AD  x + r = 3r + y
  x – y = 2r …………..

      en     :
16 = 2r
 x = 8
RPTA.: D

4. En un paralelogramo ABCD se traza la altura BH (H en  ). Si la longitud del inradio del triángulo ABH es igual a r y el cuadrilátero HBCD es circunscriptible a una circunferencia de radio cuya longitud es  R, calcule HD.

RESOLUCIÓN

 AHB: Teorema de Poncelet.
a + 2r = b + 2R …………....
Teorema de Pithot.
b + 2x = 2R + a……………...

    +      :
a + b +2x + 2r = 4R + a + b
  2x = 2(2R-r)
    x = 2R-r
RPTA.: D
5. En una circunferencia de centro “O” se ubican  los puntos A, B  y C de modo que   es diámetro y  º. En   y en la prolongación de   se ubica los puntos P y S respectivamente. Siendo   m<PSC = 90º. Calcule la m<SPC.

A) 30º B) 45º C) 60º
D) 37º E) 20º

RESOLUCIÓN

Se traza

Luego  : Inscriptible

  BOC ( 45º, 45º)
  x = 45º
RPTA.: B


6. Desde el punto C exterior a la circunferencia de diámetro AB se traza la tangente CT (T en el arco AB) y   (H en  ) siendo  , calcule la  .

A) 53º B) 37º C) 30º
D) 60º E) 45º


RESOLUCIÓN
Sea: “O” centro de la circunferencia.
OT    TC …..propiedad.
 Inscriptible

   OTC (37º, 53º)
  x = 37º
RPTA.: B

7. En  un  triángulo    rectángulo ABC  (recto en B)   de  incentro “I”,  AI = 1 e IC = . Se traza la perpendicular CH a la prolongación de AI; calcule la longitud del inradio del triángulo rectángulo AHC.

 A) 3 B) 5 C)4
 D) 2 E) 1

RESOLUCIÓN
:
………(Propiedad)
Luego:

AHC: Teorema de Poncelet
4 + 3 = 5 + 2r
  r = 1
RPTA.: E
8. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC recto en B, (BC  AB), es tangente en N a   y en P a  . Exteriormente se construye el trapezoide BCED en el cuál la circunferencia inscrita es tangente en M a   y en Q a  . Calcule PQ si ED = 5, AC = CE y            DM + AN = 3.

A) 1 B) 1,5       C) 2
D) 2,5 E) 3

RESOLUCIÓN

Del Dato:
AC = EC
a + b = 3 ...........................(1)
 
 ............(2)

(2) en (1):

  x = 2
RPTA.: C

9. La suma de las longitudes de los  catetos de un triángulo rectángulo es igual a 8u. Calcule la suma de las longitudes de su inradio y de su exradio relativo a la hipotenusa.

A) 8u B) 12u C) 4u      
D) 16u E) 6u

RESOLUCIÓN
Dato: a + b = 8 ................(1)
Teorema de Poncelet:
a + b =

a + b =   ...................(2)

(1) en (2)
r1 + r = 8
RPTA.: D

10. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 24 cm. Calcule la distancia del incentro al circuncentro.

A)   cm B) cm C) cm D) cm
E) 3 cm
RESOLUCIÓN
I  Incentro
O Circuncentro

   ABC: Teorema de Poncelet.
  10 + 24 =26 +2r  r = 4

   IHO: Pitágoras:


RPTA.: B

11. En  un   triángulo ABC se traza la mediana BM. Las    circunferencias   inscritas  en  los triángulos ABM y BMC  determinan los   puntos   de    tangencia P y Q sobre  .   Calcule PQ si    BC – AB = 12.
   
  A) 10 B) 8 C) 6
  D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN
Dato:     BC     –      AB   = 12
x + m – n =12
x + m = 12 +n ...................
Como:AM = MC  (M: punto medio)

  x = 6
RPTA.: C

12. De la  figura  calcule  UN-CP; Si  QT = 3 y  el  perímetro de  la  región UNC  es  igual al  de  la región  QUCP  (T Punto  de tangencia).
A) 3 B) 6 C) 9
D) 5 E) 2

RESOLUCIÓN

Piden:
Dato:
a + r + m + n = 6 + 4r +2a
m + n = 6 + 3r + a……………..
Teorema de Poncelet:
a + n = r + m ……………………..

   +     :
RPTA.: A

13. En un rectángulo ABCD en   se ubica el punto P de modo que la   siendo AB = 10, calcule  la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos ABP, APD y PCD.

A) 2,5 B) 5 C) 10
D) 15 E) 20

RESOLUCIÓN

  ABP,    PCD,    APD:
Teorema de Poncelet.

10 + a = m +   …..
10 + b = n +    ……         +


 
RPTA.: C

14. En una circunferencia se ubica los puntos A, B, C y D  de modo que   Si el  inradio del triángulo BPC mide 1 cm,   cm y   calcule BP.

A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm
D) 5 cm E) 8 cm

RESOLUCIÓN

Isósceles BC = 3 +b
  BPC: Poncelet

  x = 5
RPTA.: D

15. En un triángulo ABC, la mediatriz de   intersecta a   Y   en M y N respectivamente; luego se traza la altura AH (H en  ). Si   y  . Calcule  .

A) 10º B) 20º C) 15º
D) 18º E) 12º

RESOLUCIÓN

 Inscriptible
…. (propiedad)
 Isósceles (AB=AN)
2x = 40º
  x = 20º
RPTA.: B

16. En un cuadrado ABCD de centro “O”. en la región exterior relativa al lado AB se ubica el punto Q de modo que la   luego se traza  . Siendo  , calcule la

A) 30º B) 15º C) 16º
D) 26,5º E) 18,5º

RESOLUCIÓN

 Inscriptible
Se traza BT      PO
Luego:         APO

   BQA:
 
RPTA.: E

17. Una circunferencia se encuentra inscrita en un trapecio ABCD cuyo perímetro es 20 m. Calcule la longitud de la base media de dicho trapecio.
   
A) 2,5 B) 5 C) 7,5
D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN


Dato:
Perímetro=20
Teorema Pithot
BC + AD = AB + CD = 10
Base media =
RPTA.: B

18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B,  T es el punto de contacto entre    y la circunferencia inscrita. P es el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita. La medida del ángulo PTC es:

A) 30 B) 45 C) 60
D) 63,5        E) 71,5

RESOLUCIÓN

Se traza   y
 inscriptible
  (Propiedad)
Luego:
  x = 45º
RPTA.: B

19. Calcule  “x” en el gráfico


A) 15° B) 84° C) 63°
D) 60° E) 75°

RESOLUCIÓN
Se traza    AH=HC
Luego:
Se construye   Isósceles

Luego:    Inscriptible
:
…(Prop.   exterior)
  x = 60º
RPTA.: D

20. En un triángulo ABC mBAC= 60 y  BC = 6u. Calcule la distancia del incentro al excentro relativo a  .

A) 3 u       B) 6 u       C) 4 u    
D)  u     E)  u

RESOLUCIÓN

  IBE y      ICE (rectángulos):
    IBE: Se traza   (mediana)
 BM =

  ICE: Se traza   ....(mediana)
CM =
“M” es circuncentro de BEC
m<BMC = 120º

BMC:

RPTA.: E