MATEMATICAS PROBLEMAS RESUELTOS: NUMERACIÓN II EJERCICIOS RESUELTOS

1. Si el término avo de la siguiente serie aritmética es .

Calcule “a +b” si: 30;…;48;51…

A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN
30;…;48;51…
Razón: 3.
Término 1: 30
Término n: razón
Descomponiendo:
30+3x -3=
30+3(10a+b)-3=10b+a
27+29 x a = 7 x b

1 8
a=1; b=8
a+b=9
RPTA.: D

2. Dada la siguiente progresión aritmética:

“n” términos
Halle: a+b+n

A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19

RESOLUCIÓN
“n” términos

r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2

r =10b-9a+2=3b-a+8

7b = 8a+6  r = 13

2 1
n=
a + b + n=19
RPTA.: E

3. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética:

A) 26 B) 17 C) 20
D) 19 E) 22

RESOLUCIÓN
Cálculo de la razón R:

Descomponiendo polinómicamente

x = 5  R = x - 1  R = 4

+ 4 + 4

n = 20
RPTA.: C

4. En la numeración de las páginas impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro?

A) 165 B) 330 C) 320
D) 145 E) 325

RESOLUCIÓN
Suponiendo la última página con numeración PAR.
Cantidad de cifras de las páginas impares:

1, 3, 5, 7, 9,

5#s
5 x 1 = 5 cifras

11, 13, 15, 17,……., 97, 99

45#s
45x2=90cifras

101, 103, 105, 107,……….

440-(5+90) = 345 cifras

Se han utilizado 345 cifras para escribir números de3 cifras:
3 cifras =
números de 3 cifras

Total de páginas impares
= 5+45+115=165 páginas.

Total de páginas =330
RPTA.: B

5. Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado?

A) 664 B) 665 C) 620
D) 653 E) 655

RESOLUCIÓN

11#s 1# 101#s

11 x 4 1 x 5 101.6

RPTA.: E

6. Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas tiene el libro?

A) 159 B) 157 C) 148
D) 195 E) 185

RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas será:
1, 2, 3, 4,……., 71, 72,……..,

“x” Cifras utilizadas

“(x+69)” cifras utilizadas

(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135

La cantidad de cifras utilizadas en las 72 últimas páginas será:

135+69=204

Entonces si al total de cifras desde 1ª “N”, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N-72) es igual a 204.

Asumiendo para N=3

N=159
RPTA.: A

7. En la siguiente serie, halle el término que ocupa el lugar ante penúltimo.
3, 9, 17, 27,……., 699

A) 559 B) 597 C) 647
D) 649 E) 585

RESOLUCIÓN
=
En el problema

RPTA.:B

8. ¿Cuántos números de la forma:
existen?

A) 960 B) 2160 C) 3200
D) 3600 E) 2400

RESOLUCIÓN

1 2 0 0
2 3 2 1
3 4 4 2
. . 6 .
. . 8 .
. . .
. . .
7 . .
8 9 9
C#s= 8 x 8 x 5 x 10 =3200

d= 0; 1; 4; 9; 16;…..; ;
RPTA.: C

9. En que sistema de numeración existen 136 números de las formas:

A) 16 B) 17 C) 18
D) 19 E) 20

RESOLUCIÓN
a+b= k-1 (máximo)
a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1
a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2
a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3
. .
. .
. .
a=k-2; b=0,12
a=k-1; b=0 1

#s =

k=17
RPTA.: B

10. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?

A) 500 B) 625 C) 675
D) 635 E) 600

RESOLUCIÓN
Sabemos:

9x10x10=900 números de 3 cifras

Para hallar los números de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar y 1 cifra par, al total de números de 3 cifras se le debe restar los números de 3 cifras pares e impares luego:

# de 3 cifras pares
a b c
2 0 0
4 2 2
6 4 4
8 6 6
8 8
4 x 5 x 5 = 100#s

# de 3 cifras impares
a b c
1 1 1
3 3 3
5 5 7
7 7 5
9 9 9
5 x 5 x 5 = 125 #s

Entonces: 900-(100+125)675 #s
RPTA.: C

11. ¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000?

A) 900 B) 800 C) 700
D) 750 E) 810

RESOLUCIÓN
800 < ”capicúas”< 80000
Capicúas

; ;
8 0 1 0
9 1 2 1
2 3 2
. . .
. . .
. . .
9 9 9
2x10 = 20 9x10=90

1 0 0
2 1 1
1 2 2
. . .
. . .
. . .
7 9 9
7x10x10=700
C#s Capicúas= 20+90+700=810
RPTA.: B

12. ¿Cuántos números de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30?

A) 990 B) 800 C) 720
D) 500 E) 600

RESOLUCIÓN
Casos: I II
Producto de =30= 2x3x5 = 5x6
cifras
III IV
=15 x 2 =10 x 3
Caso I : 10x9x8 = 720#s
Caso II : 10x9 = 90#s
Caso III : 10x9 = 90#s
Caso IV : 10x9 = 90#s
Total = 990#s
RPTA.: A

13. ¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura?

A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN
Nro capicúa:
Tenga 2 cifras “2”
En su escritura:

RPTA.: C

14. Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar?

A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN
2226 cifras

1,2,…9; 10,11,….99,100,……U

9 #s 90 #s

Cifras: 9x1 90x2 2037 cifras

2037 3
679 # s de 3 cifras


Última cifra =8
RPTA.: D

15. Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7?

A) 76 B) 67 C) 70
D) 74 E) 73

RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas que comienzan con la cifra 7 será:
1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…,

1#s 10#s

700,701,702,..,746

47#s

El libro tiene 746 páginas
La secuencia de las páginas que terminan con la cifra 7 será:

7,17,27,37,47,…….,717,727,737

Total de números que terminan en la cifra 7:
Total=
Total= 74 números
RPTA.: D

16. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron.

A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769
D) 2 772 E) 2 774

RESOLUCIÓN
En total de páginas =100
Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que algunas páginas son de 3 cifras.

Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de 3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1.

Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39

La última página de 3 cifras es la 999
La última página de 3 cifras que quedaron es =999-39=960
Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 772

Total de tipos = 2 772
RPTA.: D

17. Si de los números del 1 a 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 ¿Cuántos números se marcan?

A) 506 B) 510 C) 511
D) 512 E) 515

RESOLUCIÓN
Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis combinatorio tenemos:

* De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s

* De 2 cifras:

7 x 8 = 56 #s

* De 3 cifras:

7 x8x 8=448 #s

* De 4 cifras: (1000) 1#

Luego : 7 +56 +448+1 =512#s

RPTA.: D

18. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras tendría si se enumerara en el sistema octal?

A) 3555 B) 4005 C) 3750
D) 4125 E) 4325

RESOLUCIÓN
x números de 3 cifras
x+y=40 x=5

y números de 4 cifras
3x+4y=155 y= 35
Última página =1034 =
# cifras =
RPTA.: A

19. Sea la P.A.:

donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es .
Halle (a + b + c + d).

A) 26 B) 24 C) 30
D) 25 E) 13

RESOLUCIÓN
a+b+c+d+=26
RPTA.: A

20. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de 3 cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15.

A) 5 B) 4 C) 3
D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN

Nros capicúas:

Además: w+z=15

Método combinatorio:
Por dato:
RPTA.: B

21. Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número.

A) 12 B) 13 C) 11
D) 14 E) 15

RESOLUCIÓN
Sucesión será:
4000;4001;4002………….…;N

“N” tipos de imprenta

Planteando el enunciado:
(Cantidad de números) x 4 =N

3N= 4x 3999
N= 4(1333) =5332
N=5332

Suma de cifras: 5+3+3+2=13
RPTA.: B

22. Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página.

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN
1;2;...6; ;…; ;

6 números números

números x números

6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras +x.4 =996

4x=996-972
4x=24
x=6 números

1 + 0+ 0+ 5=6
RPTA.: C