TEORÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOS EJERCICIOS RESUELTOS

 

1. Sea
n cifras

Calcule “n” si A tiene 444 divisores compuestos.

A) 13 B) 11 C) 12
D) 15 E) 16

RESOLUCIÓN

       no compuestos

   n = 13
RPTA.: A

2. En el número  , la suma de sus divisores pares es 2418. Determine la cantidad de divisores compuestos de N.

A) 23 B) 22 C) 21
D) 32 E) 14

RESOLUCIÓN

  Divisores


Sólo cumple para a = 2


Divisores compuestos de N:
27 – 4 = 23
RPTA.: A

3. Si:  ; tiene 48 divisores positivos múltiplos de 5  y además impares. Halle “x”

A) 1 B) 2 C) 3  
D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Divisores impares

x =3
RPTA.: C

4. Halle un número divisible por 6; de 3 cifras y que tenga 21 divisores.

A) 552 B) 576 C) 522
D) 288 E) 342

RESOLUCIÓN


Solo cumple:
x = 6; y =2

RPTA.: B

5. Si   tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Halle la cantidad de divisores cúbicos de N.

A) 1 B) 2 C) 3  
D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN
.
De donde


Luego:

RPTA.: D

6. Halle cuántos números de la forma   existen, tales que poseen 6 divisores.

A) 6 B) 5 C) 4  
D) 3 E) 2

RESOLUCIÓN
Efectuando la descomposición polinómica se obtendrá:


Además:

Como 101 es primo
  = primo²
Solo cumple:
 = 5² ó 7²
 Hay 2 números
RPTA.: E

7. Si   posee 35 divisores y   posee   divisores; halle (n + p)

A) 5 B) 6 C) 7  
D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN
 divisores
Como:
Dando forma
Donde: a = x² ; b = y²

Posee:
 
 piden:
RPTA.: C

8. Sea  N = 128 ab,   determine      (a + b) si la suma de divisores de N,  es los   de N (a y b primos).

A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN
 ; aplicando el método y simplificando
 
 
  a y b son 3 y 7
 
RPTA.: A

9. Halle el promedio aritmético de los divisores del número 360.



A) 16,25 B) 48,75
C) 68,15 D) 47,85
E) 97,5

RESOLUCIÓN


Calcule de la suma de divisores de 360:
 
Promedio aritmético =

RPTA.: B

10. Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos divisores tiene 32!?

A) B)  
C)     D)  
E)

RESOLUCIÓN

divisiones sucesivas para obtener la descomposición del primo 2 en 31!

 RPTA.: C

11. Un número tiene 24 divisores y el triple de éste, 30 divisores. ¿Cuántos divisores tiene el triple del cuadrado del mismo?

A) 80 B) 90
C) 100   D) 120
E) 140

RESOLUCIÓN
El número entero considerado admite como factor primo a tres:
 
  ........(1)


  ......(2)

De (1) y (2), a =3
Reemplazando en (1)
p = 1, q = 2

RPTA.: D

12. En el número 226800, ¿determine cuántos divisores terminan en las cifras 1, 3, 7 ó 9?

A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14

RESOLUCIÓN

   
CD que terminan en la cifra 1, 3, 7 ó 9 =



  Son 10 divisores
RPTA.: C

13. Si el número.  ; tiene el quintuple del número de divisores de   y este tiene 3 divisores más que  . Halle (x + y).

A) 5 B) 4 C) 7  
D) 8 E) 6

RESOLUCIÓN

x + 1 = 5; x =4

y = 1
x + y = 5
RPTA.: A

14. Determine la suma de las cifras del menor número tal que al multiplicarlo por 8 se cuadruplique su número de divisores; y si su cuadrado tiene 21 divisores.

A) 5 B) 13 C) 9
D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN
 ; a y b primos
  = (x + 1)(y+1)
x = 6; y = 2

Extraigo su raíz cuadrada.


32 = 4 x 4 x 2 (cumple).
Luego M no contiene potencia de 2  a, b mínimos


 1 + 3 + 5 = 9
RPTA.: C

15. Sabiendo que   tiene   divisores. ¿Cuántos divisores tendrá  ?

A) 238 B) 272 C) 298
D) 294 E) 296

RESOLUCIÓN

       a = 6

  RPTA.: D

16. Se tiene un número divisible por 15, el cual posee tres divisores simples y además sabemos que cuando se multiplica por 27, el número de sus divisores se duplica y cuando se multiplica por 625 su cantidad de divisores se triplica. Determinar la suma de cifras de dicho número.

A) 9 B) 18 C) 27
D) 36 E) 15

RESOLUCIÓN

  ; CDprimos (N) = 2


a = 2

b =1

4 + 5 = 9
RPTA.: A


17. Si:   tiene   divisores compuestos.  Halle  el  valor  de (a + b + n);

A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN


CDcompuestos =      y
CDnocompuestos = 5



n = 5 a = 6 b = 2
a + b + n = 13
RPTA.: D

18. Se tiene un número “W” cuya taba de divisores es una matriz 3 x 3; si se observa que el producto de los divisores que componen una de las diagonales es 9261. Halle la suma de cifras de “W”.

A) 5 B) 6 C) 7  
D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN
9261 = 33 . 73
Luego los factores de W son 3 y 7

4 + 4 + 1 = 9
RPTA.: E

19. La suma de los divisores del número   es 17 veces la suma de los divisores del número  . Calcule a.

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Luego:
SDN = 17SDM

 

a = 1
RPTA.: A

20. Si los números enteros P y Q son los menores posibles que tienen los mismos divisores primos, si se cumple que P tiene 35 divisores y Q tiene 39 divisores, determinar ¿cuántos divisores compuestos tendrá (P x Q)?

A) 74 B) 90 C) 120
D) 125 E) 130

RESOLUCIÓN
Como P y Q son los menores números enteros, se cumplirá que:
 


CD compuestos =130
RPTA.: E

21. Si   posee 8 divisores pero al restarle “a” unidades el número de sus divisores se duplica. Halle la cantidad de divisores de  .

A) 24 B) 12 C) 90
D) 8 E) 16

RESOLUCIÓN

   8 divisores

Restándole “a” unidades

       16 divisores
de los valores anteriores
solo cumple a =7

se pide  

RPTA.: D

22. Sea  , donde
    D.C
N tiene 108 divisores compuestos. Calcule la suma de los divisores cuadrados perfectos de   si   de  de N).

A) 32 B) 48 C) 85
D) 56 E) 68

RESOLUCIÓN

 De donde a = 3
b =5


Suma de divisores cuadrados  perfectos de 64:
1 + 4 + 16 + 64 = 85
RPTA.: C

23. Halle la suma de cifras del número N = 32 ab sabiendo que a y b son primos absolutos y la suma de los divisores de N es el triple de N.

A) 11 B) 12 C) 13
D) 14 E) 15


RESOLUCIÓN

RPTA.: E

24. Halle ( a +b ) si:
 tiene 12 divisores y   tiene 33 divisores.

A) 12 B) 15 C) 14
D) 13 E) 18

RESOLUCIÓN
Se verifica
 = (5+1) (1 +1)
33 = (2.5 + 1)(2.1+1)
Luego:
Son los únicos números que cumplen:
Luego   = 96
 a + b = 9 + 6 = 15
RPTA.: B

Categoría: ARITMETICA,TEORÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOS