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ÁREAS I EJERCICIOS DESARROLLADOS IMPRIMIR GRATIS










1. En un triángulo rectángulo BAC recto en A, el ángulo B mide 75° y la distancia de A a la hipotenusa mide  cm. Calcule el área de la región ABC.

A) 100 cm2 B) 36 cm2  
C) 84 cm2 D) 144cm2
E) 72cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad      (75º; 75º)
 
RPTA.: D

2. Los catetos AB y AC  de un triángulo rectángulo ABC recto en A,  miden 21cm y 28cm. Se trazan las bisectrices CP y AQ, las cuales se cortan en el punto I. Calcule  el área de la región  CIQ.

A) 20cm2           B) 30 cm2  
C) 45 cm2   D) 70cm2
E) 75 cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad de la Bisectriz: 
Teorema  de Poncelet:

Remplazando      y        en:

     
RPTA.: D

3. El triángulo ABC tiene como lados          AB = 20cm, AC = 6  cm y           BC = 10cm. Se traza la altura CE y por E se traza   perpendicular a . Calcule el área de la región  EMC.

A) 10 cm2 B) 5,5 cm2
C) 8 cm2 D) 7,2 cm2
E) 6,2 cm2


RESOLUCIÓN

Teorema de Euclides:

       AEC:

 
RPTA.: D

4. Se da un triángulo isósceles ABC           (AB = BC), en donde AC = 5m y la altura AH mide 4m. Calcule el área de la región BOH siendo “O” la intersección de las alturas AH y BP

A) 25/6 m2 B) 7 m2
C) 7/8 m2 D) 49/96 m2
E) 14m2


RESOLUCIÓN


        APO:
 

        BPC:          
  ……………………………………..
  ……………
Reemplazando:    a   :
 
RPTA.: D

5. En un triángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior AP  y en  se ubica el punto Q, de modo que mAPQ = 45°. Calcule el área de la región QPC, si  (BP)(PC)=20 u2.

A) 5 u2 B) 10 u2
C) 12,5 u2 D) 15 u2
E) 20 u2

RESOLUCIÓN


Dato:

Se Traza:      
PH = PB a  (Propiedad de la bisectriz)

  Isósceles
PC = QC = b

 
RPTA.: B

6. En un triángulo ABC se traza la mediana BM, de modo que          m BMA = 45°. Calcule el área de la región ABC, si  BC2 – AB2 =20 u2

A) 5 u2 B) 7,5 u2            C) 10 u2 D) 12,5 u2
E) 15 u2

RESOLUCIÓN







Dato:  ……………………..
Teorema de la proyección de la mediana
 ………………………..

RPTA.: A

7. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD y en el triángulo DBC se traza la ceviana BM, de modo que m  CBM =        m  BAC. Si el área de la región MBC es 5 cm2 y AC = 2(BC), calcule el área de la región BMA.

A) 5 cm2 B) 10 cm2      
C) 15 cm2 D) 20 cm2
E) 25 cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad  de la Bisectriz:
AD = 2(BD)

  S = 5
 
RPTA.: C

8. En un triángulo isósceles ABC           (AB=BC), se inscribe un cuadrado el cual tiene un lado  contenido en la base AC del triángulo; calcule el área de la región ABC si el baricentro de este es el centro del cuadrado y la base del triángulo mide 6m.

A) 16 m2 B) 14 m2         C)   m2 D) 9m2
E) 18m2

RESOLUCIÓN


Propiedad del Baricentro:

RPTA.: D

9. Se tiene un cuadrado ABCD; en la región interior se ubica un punto P tal que   mBPC = 90º; y en la prolongación de   se ubica al punto Q tal que m PQD = 90º. Si BP = 4u y PC = 6u, calcule el área de la región  AQD.

A) 4 u2 B) 8 u2         C)  u2 D)  u2
E)  u2

RESOLUCIÓN

RPTA.: A

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. La mediatriz de   es tangente a la circunferencia inscrita cuyo centro es 0; calcule el área de la región AOC si  AB = 6u

A) 20 u2 B)   u2
C)   u2 D)   u2
E) 10 u2


RESOLUCIÓN


      OTC: Auxiliar
Propiedad de la  Mediatriz
BM = MC = 2r
 


RPTA.: E

11. En un triángulo ABC, se ubican los puntos “M” en   y “N” en la prolongación de  .   y   se interceptan en “P” tal que las regiones MBP y PCN tienen igual área y AM = MB. Calcule:

A) 1/2 B) 1/4 C) 1
D) 1/6 E) 1/5

RESOLUCIÓN


Se Traza: BN
 
Luego:

RPTA.: C

12. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto medio M de la diagonal AC. Calcule el área de la región MBD sabiendo que las áreas de los triángulos ABD y BDC miden 50m2 y 30m2

A) 10 m2 B) 9 m2 C) 8 m2 D) 15 m2
E) 20 m2

RESOLUCIÓN

Piden:
AM = MC
 
Datos:

Restando:
  x + y = 10
RPTA.: A

13. En un triángulo ABC se traza la altura BH y en el triángulo BHC se traza la bisectriz interior BD. Siendo 3 (AD) = 4 (DC), HD = 4u y BC = 12u; calcule el área de la región ABD.

A) 8 2 B) 16 2
C) 32 2 D) 24 2
E) 40 2

RESOLUCIÓN


Se Traza:
  HD= DS = 4 (Propiedad de la bisectriz)

Del Dato:

AB = 4K
DC = 3K
 

RPTA.: C


14. En la figura, m    = m   , encuentre la razón entre las área de las regiones AGO y OFE.

A) 2/3
B)
C) 4/3
D) 3/5
E)
RESOLUCIÓN
 
RPTA.: B

15. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en   se ubica el punto “P” y en el interior de la región PBC el punto “D”. Siendo mABP = mPCD, BC = PC y                BP = PD = 4cm; calcule el área de la región BPD.

A)  cm2 B) 4 cm2
C)   cm2 D)  cm2
E) 8 cm2

RESOLUCIÓN

  Isósceles
 
 
  Equilátero
 
RPTA.: A

16. En la figura, CO = 6 . Calcule al área de la región sombreada.

A) 18 2
B) 9 2
C) 13,5 2
D) 21 2
E) 27 I 2

RESOLUCIÓN

RPTA.: A

17. En la figura, AC = CD,                      mCBD = 2m BDA y el área de la región triangular BCD es 82, calcule el área de la región sombreada.

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

18. En la figura 3 (RQ) = 2 (PR) = AP y RC = BC. Calcular la relación de áreas de las regiones APQ y QRC.

A) 1/2 B) 1 C) 1/3
D) 1/4 E) 2

RESOLUCIÓN
     
También:
 
RPTA.: C

19. En un triángulo ABC en    y   se ubican los puntos “P” y “Q” respectivamente de modo que        AP = 2(PB) y BQ = 2(QC). Calcule el área de la región PBQ, si el área de la región ABC es 45cm2.

A) 5 cm2 B) 10 cm2      
C) 15 cm2 D) 20 cm2
E) 25 cm2
RESOLUCIÓN

Dato:

RPTA.: B

20. En un triángulo ABC:                 AB = 2 (BC)=10 cm. Se traza la bisectriz interior BP y la perpendicular AQ a   (Q en la prolongación de BP). Calcule el área de la región  ABC, si PQ = 2 cm.

A) 12 cm2 B) 18 cm2
C) 24 cm2 D) 30 cm2
E) 32 cm2

RESOLUCIÓN

i) Se construye             (Isósceles)
AQ = QT
ii) Se traza            
CR = 3 (Teorema de los puntos medios)

       CRT: (37º; 53º)
QR = 4   y AQ =8
 
RPTA.: C