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1. En una circunferencia se traza una cuerda de medida que sub tiene un arco de 120º. Calcule la longitud de la cuerda que subtiene un arco de 60º.
RESOLUCIÓN
Del dato, como:
= 120º
análogamente,
RPTA.: C
2. En una circunferencia de diámetro AB se traza la cuerda CD paralela a dicho diámetro, si . Calcule , si
A) 10º B) 15º C) 18º
D) 8º E) 36º
RESOLUCIÓN
* Sea
Por inscrito: = 2 x
y como AB // CD
= = 2 x
* Como y
= 120º
* Del gráfico:
2 x + 120º +2 x = 180º
x = 15º
RPTA.: B
3. De un punto D exterior a una circunferencia se trazan las secantes DCB y DEA, siendo diámetro. Calcule , si: y , siendo “R” radio de dicha circunferencia.
A) 10º B) 12º C) 24º
D) 20º E) 15º
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
*
*
x = 15º
RPTA.: E
4. Calcule el menor ángulo que forman las diagonales del cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, si: AB y CD son lados del triángulo equilátero y el pentágono regular.
A) 84º B) 86º C) 78º
D) 76º E) 88º
RESOLUCIÓN
* Como
= 72º
y
= 120º
Por proposición:
Además,
2 x + 72º + 120º = 360º
x = 84
RPTA.: A
5. El perímetro de un hexágono regular es . Calcule el perímetro del hexágono determinado al unir en forma consecutiva los puntos medios de los lados del primer hexágono.
RESOLUCIÓN
Del dato:
Además:
i del hexágono = 120º
2p del nuevo hexágono =
RPTA.: D
6. En un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide , calcule la distancia del punto de intersección de las diagonales AD y FB a la diagonal AC.
A) B) C)
D) E)
RESOLUCIÓN
Recordar:
i hexágono = 120º
y
y
RPTA.: E
7. Interiormente en un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcule
A) 76º B) 84º C) 66º
D) 37º E) 92º
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
2x + 48º = 180º
x = 66º
RPTA.: C
8. En un triángulo ABC se traza la ceviana BQ, tal que ; los ángulos BAC, ABQ y CBQ miden 49º, 23º y 72º respectivamente. Calcule BQ.
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
isósceles
donde
RPTA.: B
9. En una circunferencia se ubican los puntos A, B y C. Calcule la distancia de C a , si los ángulos BAC y ACB miden 15º y 45º respectivamente y .
RESOLUCIÓN
1) Ángulo inscrito
2)
R =
……………………….
3) ………………………………
4) en
RPTA.: D
10. En una circunferencia de radio R = 4, su ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Calcule AC, si: ; y CD = R
RESOLUCIÓN
Del dato:
*
Luego: equilátero
Del gráfico:
Apt. del dodecágono
RPTA.: E
11. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las alturas AQ y CH. Calcule HQ, si ° y AC = 2.
RESOLUCIÓN
Del gráfico: el cuadrilátero AHQC es inscriptible. Y como AQC es recto
es diámetro
radio = 1
Además:
RPTA.: A
12. En un heptágono regular ABCDEFG, se cumple que , calcule el perímetro del heptágono.
A) B) 5 C) 25
D) E) 10
RESOLUCIÓN
Sea: y
Del gráfico:
Por Teorema de Ptolomeo
(del dato)
x = 5
RPTA.: B
13. Un cuadrado ABCD se encuentra inscrito en una circunferencia de radio R. Se traza una recta secante que biseca: al arco AB en M, a la cuerda AD en N e intersecta al arco AD en F. Calcule FN.
RESOLUCIÓN
Sea:
Del gráfico:
Además:
Por Teorema de las Cuerdas:
MN NF = a a
……………………(1)
En MON:
MN ………………………….(2)
(2) en (1):
RPTA.: D
14. En un triángulo ABC se tiene que y . Calcule AB.
A) B)
C) D) 2
E) 3
RESOLUCIÓN
Por inscrito:
Por dato:
R = 2
RPTA.: A
15. En una circunferencia se inscribe el triángulo obtusángulo ABC (obtuso en B); tal que , y ; si y es la longitud de los lados de los polígonos regulares de n, 3 y 4 lados. Calcule “n”.
A) 10 B) 12 C) 4
D) 7 E) 3
RESOLUCIÓN
Por dato:
n = 12
RPTA.: B
16. Calcule la longitud de la bisectriz interior BD de un triángulo ABC recto en B, si y AB = BD.
RESOLUCIÓN
Del gráfico:
Además:
RPTA.: B
17. Calcule la longitud del lado de un pentágono regular, cuya diagonal mide .
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
* Se prolonga hasta “P” tal que
* isósceles:
*
x = 2
RPTA.: B
18. Según el gráfico, calcule
A) 54° B) 36° C) 30°
D) 45° E) 60°
RESOLUCIÓN
* Sea AO = R
En AOM:
* PAN isosceles
AP
RPTA.: A
19. En una misma circunferencia se inscriben un pentágono regular, un hexágono regular y un decágono regular, cuyos lados miden , y respectivamente. Calcule Si:
A) 10 B) 20 C) 25
D) 40 E) 50
RESOLUCIÓN
Por propiedad.
RPTA.: A
20. Calcular la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos medios de las diagonales de un trapecio isósceles ABCD.
Si: AB = BC = CD = y m BAD = 54°
RESOLUCIÓN
Se construye el paralelogramo ABED Del grafico: CE =
Propiedad:
Donde:
RPTA.: C