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RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS DESARROLLADOS IMPRIMIR GRATIS





 

TEOREMA DE LAS CUERDAS : Si en una circunferencia se tienen dos cuerdas secantes, se cumple que el producto de las longitudes de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la otra cuerda. TEOREMA DE LA TANGENTE Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una recta tangente y una recta secante a ella, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante y su parte extrema. TEOREMA DE LAS SECANTES Si desde un punto exterior una circunferencia se trazan dos rectas secantes a ella, se cumple que los productos de las longitudes de un segmento secante y su parte externa son iguales.
1. En una circunferencia de centro “O” se ubican los puntos A y B; luego se ubica “M” en   tal que: AB = 9 m, AM = MO = 4m;  calcule BO:  

A) 4m B) 5 m C) 6 m
D) 7 m E) 8 m

RESOLUCIÓN


Datos:
AM = MO = 4
AB = 9  MB = 5

Piden: BO = r
* Prolongamos:
* Teorema de las Cuerdas:

Resolviendo: r  = 6
RPTA.: C

2. Por lo vértices B y C de un rectángulo ABCD se traza una circunferencia tangente a   que intersecta a   en “M”; calcule “BC”, si BM = 99 m y AM = 1m

A) 10 m B) 15 m C) 20 m
D) 25 m E) 100 m

RESOLUCIÓN

Datos:
BM = 99; AM = 1

Piden: BC = x
* Se observa:
CQ = BM = 99
QD = AM = 1

Teorema de la tangente:

 
RPTA.: C

3. Dado un cuadrante AOB; se ubica el punto “M” en la prolongación de   tal que   intercepta al arco AB en “N”; calcule “MN” si:           OB = 3 m y MB = 1 m.

A) 1 m B) 2 m C) 3 m
D) 2,8 m E) 1, 4 m

RESOLUCIÓN

Datos:
OB = 3  OA =3
BN = 1  OM = 4  AM = 5
Piden: MN = x
* Prolongamos el arco   y

Teorema de las Secantes:

RPTA.: E

4. En un trapecio isósceles ABCD; calcule AC si: AB = CD = 4m;  BC=   y AD =  .

A) 4 m B) 8m C)  
D) 6 m E) 5 m

RESOLUCIÓN

Datos:
AB = CD = 4;  ;  
Piden: AC = x

* Por     isósceles  AC = BD = x
Por      ABCD es inscriptible

Teorema de Ptolomeo:

x = 6
RPTA.: D

5. Dadas 2 circunferencias tangentes exteriores en “E”; se traza una recta tangente a una de ellas en “D” que intercepta a la otra circunferencia en “B” y “A”;  ; la recta tangente común interior intercepta a   en “C”; Calcule “DC” si:


A) 2,5 B) 5 C) 10
D) 15 E)

RESOLUCIÓN

Dato:


Piden: DC = x
* Teorema de Tangente:

Reemplazando:
Ordenando:

Del dato:  x = 5
RPTA.: B

6. En un paralelogramo ABCD, la circunferencia circunscrita al triángulo ACD intercepta en “E” a la prolongación de  ; calcule EB si: AC = 12 m y BD = 8m.

A) 6 B) 4 C) 3
D) 2 E) 5


RESOLUCIÓN

Dato:
AC = 12; BD = 8

Piden: EB = x
*  ABCD: paralelogramo
 


Teorema de las Cuerdas:

x = 5
RPTA.: E

7. En un triángulo ABC; se traza la altura    .
Calcule AB.
A) 4 m B) 2   C)  6 m
D) 8 m E) 2 m

RESOLUCIÓN
Datos:
BC = AC = a;
a m = 8

Piden: AB = x
* Trazamos: La altura CN  BN = NA =
NHCB Inscriptible

Teorema de las Secantes:

x = 4
RPTA.: A

8. Dado un hexágono regular ABCDEF inscrito en una circunferencia; se ubica el punto “P” en el arco AB; calcule: “PE” si PC = 5 m y PA = 1 m.  

A) 1 m B) 2 m C) 4 m
D) 6 m E) 3 m

RESOLUCIÓN

Dato:
ABCDEF: Hexágono regular
PC = 5; PA = 1

Piden: PE = x
* Se observa: AC = CE = AE = a
APCE (Inscrito)
Teorema Ptolomeo:
PE (a) = PC (a) + PA (a)
PE = 5 + 1 =6
RPTA.: D

9. Se tienen dos circunferencias exteriores, se trazan las rectas tangentes comunes exteriores AB y CD, A y C en una misma circunferencia; calcule la razón entre las longitudes de las cuerdas determinadas en las circunferencias por: AD.

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN
Datos:
AB    y  CD: Rectas tangentes
Piden:
* Propiedad: AB = CD
* Teorema de la Tangente


Igualando:
RPTA.: A

10. En un cuadrado ABCD                       (AB = 20 m), con centro en “A” y radio AB se traza el arco BD que intercepta a la circunferencia inscrita en el cuadrado en: M y N; calcule “MP” si “P” es el punto de intersección de la circunferencia inscrita con  .  

A) 5 m B) 10 m C) 15 m
D) 20 m E) 25 m

RESOLUCIÓN
Dato:
AB =  20

Piden: MP
* Se observa: AQ = QD = 10
AB = AM = AD = 20
Teorema de la Tangente:


Luego: PM = 15 m
RPTA.: C

11. En un cuadrante BOD se inscribe el cuadrado OFCE;        ; en la prolongación de   se ubica el punto “A” tal que AO = OD ; AF  intercepta al arco BD en M; si: FM= a; calcule “ CE”.

A) a B)   C)
D)   E)

RESOLUCIÓN


Datos:
AO = OD
FM = a

Piden: CE = x
* Se observa: FC = FN = x
OC = OA =
*      : (Teorema de Pitágoras)

Teorema de las Cuerdas:


RPTA.: B

12. Exterior A un cuadrado ABCD de centro “O” se construye el triángulo rectángulo AEB (recto en “E”);calcule “EO”si:AE + EB = 6m.

A) 4 m B) 3 m C) 6 m
D)  m E)   m

RESOLUCIÓN

Datos:
ABCD: Cuadrado de centro “O”



Piden: EO
* Propiedad:
AO = OC = OB = OD = a
AB =
*      BE  AO Inscriptible.

Teorema Ptolomeo

RPTA.: E

13. Se tienen dos circunferencias exteriores, se trazan las rectas tangentes comunes interiores AB y CD; A y C en una misma circunferencia; BC  intercepta a las circunferencias en M y N  ; calcule MB si: CN=2 m.

A) 1 m B) 2 m C) 4 m
D) 0,5 m E) 1 ,5 m

RESOLUCIÓN
Datos:
AB   y CD   son rectas tangentes.
CN  = 2 m

Piden: MB = x
* Propiedad: AB = CD
* Teorema de la Tangente:


Igualando: x  = 2
RPTA.: B

14. En el triángulo ABC, se ubican los puntos D, E, F y G en   y   respectivamente; calcule BE; AD = 6 m, DB = EC = 4 m y AG = FC (B, D, G, F y E son puntos cíclicos)

A) 4 m B) 6 m C) 10 m
D) 14 m E) 11 m

RESOLUCIÓN

Datos:
B, D, G, F y E: puntos cíclicos.
  AD = 6;DB = EC = 4;  AG=FC = a

Piden: BE = ?
* Teorema de las secantes:
………………………(I)
…………………(II)
(I) = (II)

RPTA.: E

15. En una semicircunferencia de diámetro AB se ubican los puntos D y C,   ; .
Calcule EC, DE = 6 m, EB = 9m y AB = 17 m.

A) 6 m B) 9 m C) 4,8 m
D) 5,4 m E) 3, 6 m


RESOLUCIÓN

Datos:
: Diámetro; DE = 6; EB = 9
      AB = 17
Piden: EC = x
*       AD = 8
*   AE = 10

Teorema de las Cuerdas:

RPTA.: D

16. Desde un punto exterior “E” a una circunferencia se trazan las rectas secantes EAB y ECD;   es la cuerda tangente en “M” a  ; calcule  , si:  ,             CD = 10 m y  EA = AM.  

A) 8 m B) 9 m C) 10 m
D) 11 m E) 12 m

RESOLUCIÓN

Datos:
EC = 8; CD = 10, EA = AM = a
Piden: MB = x

* Teorema de la Tangente:

* Teorema de la Secante:


x = 12
RPTA.: E

17. En un triángulo ABC se traza una circunferencia tangente a   y   en M y N respectivamente, dicha circunferencia intercecta a   y   en P y Q respectivamente; calcule AM si: NC = 4 m, PC = 1m y AQ = 5 m.

A) 5 m B) 6 m C) 8 m
D) 9 m E) 10 m


RESOLUCIÓN

Datos:
NC = 4,  PC = 1 y AQ = 5

Piden: AM = x

Teorema de la Tangente:

a = 15


Teorema de la Tangente:


RPTA.: E

18. Desde un punto exterior “E” a una circunferencia se trazan la recta tangente EA y la recta secante EBC; el punto medio “M” de   determina en una cuerda de dicha circunferencia segmentos de longitudes 3 m y 4 m. Calcule         EA  si B y M trisecan a  .

A) 4 m B) 5 m C) 6 m
D) 7 m E) 8 m

RESOLUCIÓN


Datos:
NQ = 3; MP = 4
EB = BM = MC = a
Piden: EA = x
* Teorema de las Cuerdas:

* Teorema de la Tangente:

 12
x = 6
RPTA.: C

19. Desde un punto “A” exterior a una circunferencia, se trazan las rectas tangentes   y   , también se traza la recta secante ADE;  . Calcule: AD; DM = 2 m y ME = 3 m

A) 10 m B) 5 m C) 21 m
D) 8 E) 16 m

RESOLUCIÓN

Datos:
DM = 2; ME = 3

Piden: AD = x =?
* Teorema de las Cuerdas:
…………………..…….(I)

* Teorema de la Tangente:
…………………….…….(II)

* Teorema de Stewart:
 (Isósceles)
…………………(III)
Reemplazando: (I y II) en (III)

Resolviendo:
  x = 10
RPTA.: A

20. Calcule la distancia entre el incentro y el circuncentro de una triángulo, si las longitudes del inradio y circunradio son: 2 m y          6 m respectivamente.


A) 2 m B)  
C)     D) 4 m
E) 3 m
RESOLUCIÓN

Datos:
I: Incentro
O: Circuncentro
R = 2; R = 6
Piden: IO = x =?
* Teorema de las Cuerdas:
…………………(I)
* Propiedad: IP = AP = m
*
……………..(II)

Reemplazando (II) en (I)


RPTA.: B