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1. En un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 37° y 53°. Calcule la relación entre las medidas inradio y el circunradio.
A) 2/5 B) 1/5 C)3/10 D) 3/5 E) 2/7
RESOLUCIÓN
r = Inradio
R: Circunradio
ABC: Teorema de Poncelet.
3k + 4k = 5k + 2r
2r = 2k ………...
Luego:
AC = 2R= 5k …………
RPTA.: A
2. En un triángulo rectángulo las medidas del inradio y el circunradio están en la relación de 1 a 3. Calcule la longitud del inradio si el perímetro del triángulo es 42.
A) 2 B) 2 C) 3
D) 3 E) 6
RESOLUCIÓN
r Inradio
R = Circunradio
Dato: a + b + c = 42 ……….
R = 3r ………..
: Teorema de Poncelet.
a + c = b + 2r ……….
en : b + 2r + b = 42
2R + 2r +2R = 42
2R + r = 21…....
en : 2(3r) +r = 21 r=3 RPTA.: C
3. En un rectángulo ABCD se traza la bisectriz del ángulo B, interceptando en “E” a . Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero BEDC, si ésta determina el punto “N” en y BN – NE = 16.
A) 16 B) 12 C) 10
D) 8 E) 4
RESOLUCIÓN
Dato:
…..
BC = AD x + r = 3r + y
x – y = 2r …………..
en :
16 = 2r
x = 8
RPTA.: D
4. En un paralelogramo ABCD se traza la altura BH (H en ). Si la longitud del inradio del triángulo ABH es igual a r y el cuadrilátero HBCD es circunscriptible a una circunferencia de radio cuya longitud es R, calcule HD.
RESOLUCIÓN
AHB: Teorema de Poncelet.
a + 2r = b + 2R …………....
Teorema de Pithot.
b + 2x = 2R + a……………...
+ :
a + b +2x + 2r = 4R + a + b
2x = 2(2R-r)
x = 2R-r
RPTA.: D
5. En una circunferencia de centro “O” se ubican los puntos A, B y C de modo que es diámetro y º. En y en la prolongación de se ubica los puntos P y S respectivamente. Siendo m<PSC = 90º. Calcule la m<SPC.
A) 30º B) 45º C) 60º
D) 37º E) 20º
RESOLUCIÓN
Se traza
Luego : Inscriptible
BOC ( 45º, 45º)
x = 45º
RPTA.: B
6. Desde el punto C exterior a la circunferencia de diámetro AB se traza la tangente CT (T en el arco AB) y (H en ) siendo , calcule la .
A) 53º B) 37º C) 30º
D) 60º E) 45º
RESOLUCIÓN
Sea: “O” centro de la circunferencia.
OT TC …..propiedad.
Inscriptible
OTC (37º, 53º)
x = 37º
RPTA.: B
7. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) de incentro “I”, AI = 1 e IC = . Se traza la perpendicular CH a la prolongación de AI; calcule la longitud del inradio del triángulo rectángulo AHC.
A) 3 B) 5 C)4
D) 2 E) 1
RESOLUCIÓN
:
………(Propiedad)
Luego:
AHC: Teorema de Poncelet
4 + 3 = 5 + 2r
r = 1
RPTA.: E
8. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC recto en B, (BC AB), es tangente en N a y en P a . Exteriormente se construye el trapezoide BCED en el cuál la circunferencia inscrita es tangente en M a y en Q a . Calcule PQ si ED = 5, AC = CE y DM + AN = 3.
A) 1 B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3
RESOLUCIÓN
Del Dato:
AC = EC
a + b = 3 ...........................(1)
............(2)
(2) en (1):
x = 2
RPTA.: C
9. La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es igual a 8u. Calcule la suma de las longitudes de su inradio y de su exradio relativo a la hipotenusa.
A) 8u B) 12u C) 4u
D) 16u E) 6u
RESOLUCIÓN
Dato: a + b = 8 ................(1)
Teorema de Poncelet:
a + b =
a + b = ...................(2)
(1) en (2)
r1 + r = 8
RPTA.: D
10. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 24 cm. Calcule la distancia del incentro al circuncentro.
A) cm B) cm C) cm D) cm
E) 3 cm
RESOLUCIÓN
I Incentro
O Circuncentro
ABC: Teorema de Poncelet.
10 + 24 =26 +2r r = 4
IHO: Pitágoras:
RPTA.: B
11. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. Las circunferencias inscritas en los triángulos ABM y BMC determinan los puntos de tangencia P y Q sobre . Calcule PQ si BC – AB = 12.
A) 10 B) 8 C) 6
D) 4 E) 3
RESOLUCIÓN
Dato: BC – AB = 12
x + m – n =12
x + m = 12 +n ...................
Como:AM = MC (M: punto medio)
x = 6
RPTA.: C
12. De la figura calcule UN-CP; Si QT = 3 y el perímetro de la región UNC es igual al de la región QUCP (T Punto de tangencia).
A) 3 B) 6 C) 9
D) 5 E) 2
RESOLUCIÓN
Piden:
Dato:
a + r + m + n = 6 + 4r +2a
m + n = 6 + 3r + a……………..
Teorema de Poncelet:
a + n = r + m ……………………..
+ :
RPTA.: A
13. En un rectángulo ABCD en se ubica el punto P de modo que la siendo AB = 10, calcule la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos ABP, APD y PCD.
A) 2,5 B) 5 C) 10
D) 15 E) 20
RESOLUCIÓN
ABP, PCD, APD:
Teorema de Poncelet.
10 + a = m + …..
10 + b = n + …… +
…
RPTA.: C
14. En una circunferencia se ubica los puntos A, B, C y D de modo que Si el inradio del triángulo BPC mide 1 cm, cm y calcule BP.
A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm
D) 5 cm E) 8 cm
RESOLUCIÓN
Isósceles BC = 3 +b
BPC: Poncelet
x = 5
RPTA.: D
15. En un triángulo ABC, la mediatriz de intersecta a Y en M y N respectivamente; luego se traza la altura AH (H en ). Si y . Calcule .
A) 10º B) 20º C) 15º
D) 18º E) 12º
RESOLUCIÓN
Inscriptible
…. (propiedad)
Isósceles (AB=AN)
2x = 40º
x = 20º
RPTA.: B
16. En un cuadrado ABCD de centro “O”. en la región exterior relativa al lado AB se ubica el punto Q de modo que la luego se traza . Siendo , calcule la
A) 30º B) 15º C) 16º
D) 26,5º E) 18,5º
RESOLUCIÓN
Inscriptible
Se traza BT PO
Luego: APO
BQA:
RPTA.: E
17. Una circunferencia se encuentra inscrita en un trapecio ABCD cuyo perímetro es 20 m. Calcule la longitud de la base media de dicho trapecio.
A) 2,5 B) 5 C) 7,5
D) 10 E) 12
RESOLUCIÓN
Dato:
Perímetro=20
Teorema Pithot
BC + AD = AB + CD = 10
Base media =
RPTA.: B
18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, T es el punto de contacto entre y la circunferencia inscrita. P es el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita. La medida del ángulo PTC es:
A) 30 B) 45 C) 60
D) 63,5 E) 71,5
RESOLUCIÓN
Se traza y
inscriptible
(Propiedad)
Luego:
x = 45º
RPTA.: B
19. Calcule “x” en el gráfico
A) 15° B) 84° C) 63°
D) 60° E) 75°
RESOLUCIÓN
Se traza AH=HC
Luego:
Se construye Isósceles
Luego: Inscriptible
:
…(Prop. exterior)
x = 60º
RPTA.: D
20. En un triángulo ABC mBAC= 60 y BC = 6u. Calcule la distancia del incentro al excentro relativo a .
A) 3 u B) 6 u C) 4 u
D) u E) u
RESOLUCIÓN
IBE y ICE (rectángulos):
IBE: Se traza (mediana)
BM =
ICE: Se traza ....(mediana)
CM =
“M” es circuncentro de BEC
m<BMC = 120º
BMC:
RPTA.: E
Categoría:
CIRCUNFERENCIA,GEOMETRIA
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