PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA EJERCICIOS DESARROLLADOS IMPRIMIR GRATIS ~ MATEMATICAS PROBLEMAS RESUELTOS

1. En la figura calcule z, si:

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

RESOLUCIÓN
1) Dato:
Resolviendo:
, y =-1... (I)
2) Teorema de Thales
... (II)

3) (I)en (II)

z = 7

RPTA.: D

2. En la figura, calcule BF si: , CD=6

A) B) C)
D) E) 12

RESOLUCIÓN
1) Corolario de Thales:
... (I)
2) Reemplazando los datos en (I):
..... (II)

3) BDF (notable)
... (III)
4) (II) en (III)

RPTA.: D

3. En la figura, calcule AB, si: BD=4 y DC = 5

A) 6
B) 8
C) 9
D) 12
E) 15

RESOLUCIÓN

1) Dato: BD = 4, DC = 5
2) Teorema de bisectriz
... (I)
3) Teorema de Pitágoras en
ABC
... (II)
4) (I) en (II)
RPTA.: D

4. En la figura, calcule CF, si: AD=3 y DC=2.

A) 5 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN
1) Dato: AD = 3, DC = 3 y DC = 2
2) Teorema de bisectriz
... (interna) (I)
...(externa) (II)
3) Igualando
..División armónica


RPTA.: D

5. En la figura, calcule CF, si: el triángulo ABC es equilátero, BD=3, AD=5, BE=4.

A) 8 B) 9 C) 10
D) 12 E) 15

RESOLUCIÓN

1) Dato: BD = 3, AD = 5
AB = 8
2) Dato: es equilátero
AB = AC = BC = 8
3) Dato: BE = 4 EC = 4
4) Teorema de Menelao

RPTA.: D

6. En un cuadrilátero convexo ABCD, el ángulo externo D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Calcule BD, si AB = 25 y BC = 16.

A) 12 B) 15 C) 18
D) 20 E) 36

RESOLUCIÓN

1) Dato:
2) Si:

3) es bisectriz
RPTA.: D

7. Calcule AF en la figura, Si: BD = 5 y DF= 4.

A) 5 B) 5,5 C) 6
D) 6,5 E) 8

RESOLUCIÓN

1) Dato: BD = 5, DF = 4
2) Ángulo inscrito

3) (caso AAA)

RPTA.: C

8. En un triángulo ABC la base AC mide 30 cm. y la altura BH mide 15 cm. Calcule la longitud del lado del cuadrado inscrito en dicho triángulo y que tiene un lado contenido en

A) 15 cm. B) 12 cm.
C) 10 cm. D) 8 cm.
E) 13 cm.

RESOLUCIÓN

1) Dato: BH= 15, AC =30
2)

x = 30 -2x
3x = 30

RPTA.: C

9. En la figura, es paralela a , AB = 18 cm, AC = 27 cm y BC = 36 cm. Calcule AM para que el perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio MNCB.
A) 14,5 cm.
B) 16,2 cm.
C) 12,5 cm.
D) 18,2 cm.
E) 19,2 cm.
RESOLUCIÓN
1) Dato: AB =18 BM = 18 – x
AC =27 NC = 27 – y
BC =36,
2) Dato: Perímetro (AMN)
= Perímetro (MNCB)
... (I)

3) Corolario de Thales

... (II)

4) (II) en (I)

RPTA.: B

10. En la figura, calcule EC, si: BD = 12 y DE = 15

A) 20
B) 22
C) 24
D) 25
E) 27

RESOLUCIÓN

1) Dato: BD = 2 , DE = 15
2) Construir el ABD
BF = BD = 12
AF = AD = a

3) Teorema de bisectriz en
... (I)
4) Teorema de bisectriz en
... (II)
5) Igualando (I) y (II)

RPTA.: D

11. En la figura, calcule AB, si ABCD es cuadrado, BF = 3 y FE = 2.

A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 18
RESOLUCIÓN
1) Dato: BF = 3, FE = 2
2) Dato: ABCD es cuadrado
3) Ángulo Inscrito:

4) : División Armónica

... (I)
5) Nos piden
  = 3 + 2 + x....... (II)
6)(I) en (II)
 = 3 +2 + 10

RPTA.: D

12. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, AB=6, BC=8, se trazan: la mediana BM y la bisectriz interior que se intersectan en P. La prolongación de intersecta a en E; calcule AE.

A) 3 B) 4 C)
D) E)

RESOLUCIÓN

1) Dato: AB = 6, BC = 8
2) ABC (37º y 53º)
AC = 10
3) Teorema de bisectriz
en ABC

4) Dato: es mediana
AM = MC =5
5) Teorema de Ceva

RPTA.: D

13. En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y EC= 2

A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 16

RESOLUCIÓN

1) Dato: AE = 4 , EC = 2
2) Teorema de Ceva
ab (2) = dc (4) … (I)
3) Teorema de Menelao
ab x= dc (6+x)… (II)

4) Dividiendo(I) y (II)
... Div. Armónica
RPTA.: A

14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B cuyo circunradio mide R, el inradio mide r, R=5r, siendo “I” el incentro, se traza cuya prolongación intersecta a en D. Calcule

A) 1,2 B) 1,5 C) 1,6
D) 1,8 E) 2,1

RESOLUCIÓN

1) Dato: R=5r … (I)
2) Teorema del Incentro
… (II)
3) Teorema de Poncelet
AB+BC=AC+2r = 12r (III)
(III) en (II)

RPTA.: A

15. Calcule x en la figura.

A) B) 2 C)
D) E) 1

RESOLUCIÓN
Por semejanza
..(I)
..(II)

(I) y (II)

RPTA.: B

16. En un cuadrilátero ABCD circunscrito a una circunferencia, los lados AD y BC son tangentes a la circunferencia en M y N respectivamente, intersecta a en P, si PC = 10, NC = 8 y AM = 4; calcule AP.

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8

RESOLUCIÓN

1) Dato:PC = 10, AM = 4, NC = 8
2) Trazar ángulos alternos internos
3) Ángulo Seminscrito

4) es isósceles

5)
Caso AAA

8x = 40

RPTA.: C

17. En un triángulo ABC se inscribe un rombo BFDE, F en AB, D en y E en . Calcule la longitud del lado de dicho rombo, si: AB = 6 y BC = 12

A) 3 B) 4 C) 8
D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN

1) Dato: AB= 6, BC=12
2) Dato BFDE es rombo
BF = FD = DE = BE = x

3)
Caso AAA

18x = 72

RPTA.: B

18. Las medidas de los lados de un triángulo son tres números pares consecutivos además el mayor interno mide el doble de la medida del menor ángulo interno. Calcule la medida del menor lado.

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN

1) Prolongar hasta E tal que AE = AB = x
2) BE = BC = x + 4
3)

x - 8 = 0

RPTA.: E

19. En la figura, calcule ET, si: DP=3 y PE = 2, D, E y F son puntos de tangencia.

A) 5 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN
1) Propiedad A, F, C y T es una cuaterna armónica.
2) B-AFCT es un haz armónico
… (I)
3) Dato DP= 3; PE =2,
ET =x… (II)
4) (II) en (I)

RPTA.: D

20. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, la prolongación de la altura BH intersecta a la bisectriz exterior del ángulo C en el punto P.
Calcule BP, Si: AB = 4, BC = 3 y AC = 5

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8

RESOLUCIÓN

1) Las prolongaciones de y se intersectan enT.
2)
3) es isósceles

4) Caso AAA

5x= 12+3x
2x=12

RPTA.: D