CONJUNTOS I EJERCICIOS RESUELTOS

1. Si:
Indicar las proposiciones que son verdaderas.

A) solo I B) solo II
C) solo III D) II y IV
E) II y III

RESOLUCIÓN


I y III son verdaderas

RPTA.: D

2. Dados los conjuntos:

Indicar si es verdadero o falso, las siguientes proposiciones.
A) VVF B) FVF C) VFV
D) VFF E) VVV

RESOLUCIÓN
RPTA.: C

3. Sea
Calcule la suma de elementos del conjunto B; si

A) 1000 B) 1296 C) 1312
D) 1424 E) 1528

RESOLUCIÓN

Nota:
RPTA.: C

4. Halle el cardinal del conjunto B e indicar el número de subconjuntos ternarios que tiene.

A) 48 B) 42 C) 63
D) 56 E) 45

RESOLUCIÓN

(x > 8)  (x = 2)
 (x> 8)  (x = 2)

 x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
 n(B) = 8


RPTA.: D

5. Dados los conjuntos unitarios
A = {a + b; a + 2b3; 12}  y
B = {xy ; yx ; 16};
halle el valor de (x + y + a² + b)

A) 81 B) 92 C) 96
D) 87 E) 90

RESOLUCIÓN
A y B son unitarios:

* A = {a + b; a + 2b  3; 12}
a + b = 12
a + 2b  3 = 12
a + 2b = 15
como: a + b = 12
b = 3  a = 9

* B = {xy; yx; 16}
xy = yx = 24
 x = 2 ; y = 4
 x + y + a² + b =   90
RPTA.: E

6. Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si:
D = {(x² 1)Z / 0 < x  4}

A) 132 B) 126 C) 105
D) 124 E) 120

RESOLUCIÓN
D = {(x² 1)Z / 0 < x  4}
0 < x  4  0 < x²  16

 1 <x²  1 15

D = {0; 1; 2; 3; ...;15}  n(D)= 16
RPTA.: E

7. Si:
n [P(A)]= 128; n[P(B)]= 32    y
n [P(AB)] = 8

Halle el cardinal de P(AB) sumado con el cardinal de:

C =  

A) 521 B) 517 C) 519
D) 512 E) 520

RESOLUCIÓN

* nP(A) = 128 = 27  n(A) = 7
nP(B) = 32 = 25  n(B) = 5
nP(AB) = 8 = 23  n(AB) = 3
 n(AB) = 7 + 5  3 = 9
 nP(AB) = 29 = 512

* C =

       (3x + 1) < 6


C = {1; 2; 3; 4; 5}
n(C) = 5

 nP(AB) + n(C) = 517

RPTA.: B

8. Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener?

A) 512 B) 246 C) 247
D) 503 E) 502

RESOLUCIÓN
# de colores   = 9
# de nuevos matices= 29  1  9
  = 512  10
  = 502

RPTA.: E

9. El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos subconjuntos quinarios tendrá?

A) 64 B) 56 C) 48
D) 21 E) 35



RESOLUCIÓN
       Sea  n(A)       = x


RPTA.: B

10. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además:

n(A) = 4P + 2   ; n(B) = 3P + 6  y
n(AB) = 2P  2

Halle n(AB)

A) 14 B) 16 C) 18
D) 17 E) 20


RESOLUCIÓN
n(C) = P + 1

P + 1

2P + 1  1 = 2P + 3
         P = 2
Luego:
n(A) = 4(2) + 2 = 10
n(B) = 3(2) + 6 = 12
n(AB) = 2

n (AB) = 18
RPTA.: C

11. Sean los conjuntos A  E ;  B  E y C  E; E conjunto universal, tal que:

E  = {x Z+ / x < 10}
A  =
AB = {x  E / x  9  x > 2}
BC = {3}
BC = {x  E / x  7}
AC =

Determinar n(A) + n(B) + n(C)

A) 9 B) 12 C) 10
D) 13 E) 11

RESOLUCIÓN
          E={xZ+/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

 A = {7, 8, 9}
De:

A  B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B  C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11
RPTA.: E

12. Sean A, B y C tres conjuntos no vacíos que cumplen las condiciones:
*   A  B  B  A
* si x  C  x  B

Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
I) A y B son disjuntos
II) (A  B)  C
III) C  (A  B)
IV) C  (A  B)

A) FVVF B) FFVV C) FFFF
D) VFVF E) FFFV

RESOLUCIÓN
A  B  B  A
x  C  x  B

Graficando las dos condiciones:
I) A y B son disjuntos (F)
II) (A  B)  C (F)
III) C  (A  B) (F)
IV) C  (A  B) (V)

RPTA.: E

13. Sean A y B dos conjuntos finitos tales que:

* A  B = 
* n(B) = 2 . n(A)
*  tiene 128 subconjuntos.

El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos propios de A en 993.
¿Cuántos subconjuntos propios tiene  ?

A) 281 B) 2101 C) 2111
D) 2121 E) 2131

RESOLUCIÓN
Sean n(A) = x  n(B) = 2x

  22x  (2x1) = 993

2x(2x1) = 992 = 25 x 31

x = 5

Luego:

# subconjuntos de
   

RPTA.: D

14. Dados los conjuntos:


Halle: n[(AB)  ]

A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN
*


N = 2; 5; 8 ......
X = 1; 5; 9 ......
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}

*
   B = 

*
C = {13, 14, 15, 16, 17, .....}
n(AB)     A  B (DIFERENCIA SIMÉTRICA)

n (A    ) = n(A  C)
= n {1, 5, 9}
= 3
RPTA.: B

15. Para los conjuntos A, B y C afirmamos:

I. Si A  B  C 
II. A 
III.
IV. Si
V.
Son verdaderas:

A) todas
B) solo II y III
C) todas excepto V
D) solo II, III, IV y V
E) solo I, II y V

RESOLUCIÓN
I. Si A  B  C    (V)
II. A    (V)
III. (V)
IV. Si   (V)
V. (V)
RPTA.: A

16. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los conjuntos A y B tienen 2 elementos comunes; determine n(AB)

A) 14 B) 13 C) 12
D) 11 E) 10

RESOLUCIÓN
320 = n(PA) + n (PB)
320 = 2n(A) + 2n(B)
320 = 26 + 28
Luego:
n(A) = 6 n(B) = 8


 n(AB) = 10
RPTA.: E

17. Sean A, B y C conjuntos no vacíos diferentes dos a dos, tales que:

Al simplificar:
[B(C  A)]  [A  (B  C)] se obtiene:

A) A B) B C) A  B
D) A  C E) 


RESOLUCIÓN

Graficando y enumerando las regiones:


 [2]  [1; 3] = 

RPTA.: E

18. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:


A) A  B B) A   
C)   D)
E) 
RESOLUCIÓN
Graficando los conjuntos A y B


     (A  B)   (BA)


RPTA.: A

19. En el gráfico, las zonas sombreadas están representadas por:


I) [A(BC)]  [C  D]
II) (A  B)  (B  C)
III) [(A  D)  C]  [A  (BC)]

A) solo I B) solo II
C) solo I y II D) solo II y III
E) todos
RESOLUCIÓN

I) [A(BC)]  [C  D]
[{1,2,3}  {2,6,5}]  {7} = {1,3,7}: si

II) (A  B)  (B  C)
{1,2,3,4,5,6,7}  {2,5,6} = {1,3,4,7} no

III) [(A  D)  C]  [A  (BC)]
{1,2,5}  {1,3} = {1} no

RPTA.: A
20. Dado 3 conjuntos A; B y C:
Si n(A) = m ; n(B) = m + r
n(C) = m + 2r ; además:
n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896
Se sabe además que A, B y C son disjuntos.
Calcule n(A  B  C)

A) 16 B) 22 C) 24
D) 32 E) 48

RESOLUCIÓN
n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r

 2m + 2m+r + 2m+2r = 896

2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7


  m = 7
r = 1

A B C

 7 8 9

n(A  B  C) = 24
RPTA.: C

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CONJUNTOS II EJERCICIOS RESUELTOS

 

1. Se hizo una encuesta a 50 personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. Se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen solo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas personas leen la revista A?

A) 24 B) 30 C) 32
D) 36 E) 40

RESOLUCIÓN
6x + 12x + 4x + 3x = 50  x = 2
 n(A) = 18(2) = 36

RPTA.: D

2. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?

A) 8 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12



RESOLUCIÓN

40 = 11 + 9 + 12 + x  x = 8

RPTA.: A

3. De los residentes de un edificio se ha observado que 29 de ellos trabajan y 56 son mujeres, de los cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian, ¿cuántas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?

A) 32 B) 30 C) 28
D) 26 E) 34

RESOLUCIÓN


X = 56 – 24
X = 32

RPTA.: A

4. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito.
* Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30.
* Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27.
* Los que practican atletismo y fulbito son 7.
* Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15.
* Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo.
* 4 practican atletismo y básquet pero no fulbito.
* Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4.
¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno?

A) 21 B) 17 C) 19
D) 2 E) 18

RESOLUCIÓN


50 = 15 + 8 + (7x) + x + 8 + x
+ 4 + 4 + 2
X   = 50  48 = 2
 solo 2 deportes o ninguno de los tres: 5 + 4 + 8 + 2 = 19

RPTA.: C
5. Dado los conjuntos A; B y C contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:

n(A  B) = 21
n(B  C) = 25
n(C  A) = 32
3n (ABC) = n(ABC
Hallar:

A) 93 B) 95 C) 87
D) 77 E) 91

RESOLUCIÓN
  Diagrama de Ven –Euler para visualizar:

Planteando tenemos:
98 = 4x + 21 + 25 + 32
20 = 4x
5 = x


Piden:


RPTA.: A

6. Usando las leyes del álgebra de conjuntos, simplificar:



A) AC B) BC
C) U D) (A  B)C
E) (A  B)C
RESOLUCIÓN
[(AB)B] = 
[(AB)C]C = (AB)CC
{[(AB)B][(AB)C]}C
{}C = U
RPTA.: C

7. En un condominio de 100 personas, 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios?

A) 15 B) 10 C) 20
D) 24 E) 15

RESOLUCIÓN
Tomando por partes:


= 10

RPTA.: B

8. En una encuesta a los estudiantes se determinó que:

* 68 se portan bien
* 160 son habladores
* 138 son inteligentes
* 55 son habladores y se portan bien
* 48 se portan bien y son inteligentes
* 120 son habladores e inteligentes
* 40 son habladores, inteligentes y se portan bien.

¿Cuántos estudiantes son inteligentes solamente?

A) 10 B) 20 C) 40
D) 12 E) 8


RESOLUCIÓN

Solo inteligentes = 10
RPTA.: A


9. Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte, “y” es el total de personas que practican exactamente 2 deportes, entonces el valor de (xy) es:

A) 9 B) 10 C) 12
D) 15 E) 16

RESOLUCIÓN

a + b + c = y
x : solo un deporte

Del universo:
44ab+b+17bc+32+10 = 78
a + b + c = 25 = y

También:
x + y + 6 + 10 = 78  x = 37
 x  y = 12
RPTA.: C

10. Dado el conjunto universal “U” y los subconjuntos A, B y C; se tiene los siguientes datos:

n(U) = 44 n(BC) = 12
n(AC) = 14 n[(ABC ]=6
n(ABC) = 5 n(B) = 17
n(A) = 21 n(ABC  ) =3

Hallar n(C)

A) 31 B) 27 C) 29
D) 26 E) 28

RESOLUCIÓN
n(AB C ) =3
n[(AB)C] =3

21 + 2 + 7 + 6 + x = 44  x = 8
n(C) = 9 + 5 + 7 + 8 = 29

RPTA.: C

11. En un grupo de 80 estudiantes, se encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en número de 72, distribuidas de la siguiente manera:

* Alemán solamente 25
* Español solamente 12
* Francés pero no alemán ni español, 15
* Alemán y francés 10
* Alemán y español 8

Además los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. Determinar cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 lenguas.

A) 14 B) 20 C) 12
D) 8 E) 18


RESOLUCIÓN

Dos lenguas solamente ó tres lenguas
= (80)  (25 + 15 + 12 + 8)
= 20
RPTA.: B

12. En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se obtuvo la siguiente información: todos los hombres tenían más de 20 años, 25 de las mujeres eran casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de 20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Si hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la diferencia entre el número de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres solteras con menos de 20 años.

A) 5 B) 10 C) 15
D) 18 E) 8

RESOLUCIÓN
A: personas con más de 20 años
B: hombres
C: casados

Por datos:
x   + y = 25
x   + z = 15
x = 10
y = 15
z = 5

* Trabajadores con menos de 20 años: 15 + 25 = 40
* Mujeres solteras con menos de 20 años = 25
40  25 = 15
RPTA.: C

13. ¿Qué operación representa el gráfico?

A) [(AC)(BC)]  C
B) [(AB)(BA)]C
C) C (AB)
D) (CA)  (CB)
E)

RESOLUCIÓN

RPTA.: C

14. En un colegio hay 35 niños. Cada uno de ellos tiene una bandera que puede ser monócroma, bicolor o tricolor, habiéndose usado únicamente 3 colores: rojo, amarillo y azul. El número de banderas bicolor es el doble del número de banderas monocromas, mientras que el número de banderas que tienen el color rojo es igual al número de banderas que tienen el color azul e igual al número de banderas que tienen el color amarillo. Si sólo 8 niños tienen banderas tricolor y dos alumnos banderas color amarillo. ¿Cuántas banderas bicolor rojo – azul hay?

A) 2 B) 3 C) 5
D) 7 E) 10

RESOLUCIÓN
Datos:
a + b + x + y + z = 25 ......(1)
x + y + z = 2(a + b + c) ....(2)
(2) en (1)
a + b + 2 (a + b + 2) = 25
3(a + b) = 21
a + b = 7

Dato:
a + x + y = y + z + b = x + z + c
a + 18  z = 18  x + b = 18y+ c
De donde:
a = z y + c
b = x  y + c
Sumando: 7 = x + z  2y + 4
7 = 18  y  2y + 4
3y = 15
y = 5

RPTA.: C


15. A cuántas personas le gusta 2 cursos solamente si la cantidad de personas que le gusta aritmética pero no álgebra ni física es el doble de los que les gusta álgebra, pero no aritmética ni física y además a los que les gusta física pero no aritmética ni álgebra es el triple de los que les gusta álgebra pero no aritmética ni física y a los que les gusta los 3 cursos es la cuarta parte de los que les gusta aritmética pero no álgebra ni física, si a 24 personas le gusta solamente un curso y además el total de personas que gusta de al menos un curso es 36.

A) 5 B) 8 C) 12
D) 4 E) 10

RESOLUCIÓN


A: aritmética
X: álgebra
F: física

Datos:
A  (xF) = 2[x  (AF)]
F  (Ax) = 3[x(AF)]

AxF = y
Por dato:
       4y + 2y + 6y = 24
12y = 24
  y = 2

    13y + m + n + p = 36 .... dato
13 x 2 + m + n + p = 36
     m + n + p = 10
RPTA.: E

16. A, B y C son conjuntos contenidos en un mismo universo, simplifique la siguiente expresión:

17. De 60 personas se sabe:

* 6 hombres tienen 20 años
* 18 hombres no tienen 21 años
* 22 hombres no tienen 20 años
* Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años.

¿Cuántas mujeres no tienen 20 años?

A) 18 B) 20 C) 24
D) 22 E) 28

RESOLUCIÓN

= 22
RPTA.: E

18. De un grupo de personas se sabe lo siguiente:
* Algunos provincianos son casados.
* Todos los profesores no son provincianos.
* Ninguno de los que tienen hijos es profesor
* Todos los casados tienen hijos
* 9 personas no son provincianas, ni casadas, pero tienen hijos.
* Hay 12 profesores y son tantos como el número de casados
* De los 25 provincianos, 15 tienen hijos.
* 5 casados no son limeños
* 10 limeños no son profesores ni tienen hijos.
¿Cuántas personas conforman el grupo y cuántos no tienen hijos, ni son profesores?

A) 63 y 20 B) 57 y 10
C) 59 y 23 D) 64 y 9
E) 63 y 22

RESOLUCIÓN

Total = 63
No tienen hijos ni son
profesores = 20
RPTA.: A

19. En una academia de 100 alumnos, se rindieron 3 simulacros con los siguientes resultados: 40 aprobaron el primero; 39 el segundo; y 48 el tercero. 10 aprobaron 3 simulacros. 21 ninguno; 9 los dos primeros, pero no el tercero; 19 el tercero, pero no los dos primeros.
¿Cuántos aprobaron por los menos dos exámenes?

A) 19 B) 38 C) 24
D) 27 E) 29

RESOLUCIÓN

x + y + 10 + 19 = 48
x + y + 19 = 38

RPTA.: B

20. En una ciudad el 60% de los habitantes comen pescado; el 50% come carne; el 40% de los que comen carne también comen pescado. ¿Qué porcentaje de los habitantes no comen pescado ni comen carne?

A) 15% B) 23% C) 20%
D) 10% E) 30%

RESOLUCIÓN


60% + 30% + x = 100%
   X = 10%

RPTA.: D

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NUMERACIÓN I EJERCICIOS RESUELTOS

1. Calcule “a” si:

 
  Además  

A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN                          
         C= par      
 
   n = 8  ;     ;

Luego:

RPTA.: B

2. ¿Cuántos valores puede tomar “k” en   ?

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN

Descomponiendo

Pero

K puede tomar 6 valores

RPTA.: C

3. Si:

Halle:

A) 10 B) 12 C) 13
D) 11 E) 14

RESOLUCIÓN

1    2    3    4       5

  6      6   48   306 1860
1    8   51   310 1865

      a=5
            b=3
      C=0
      D=3

a + b + c + d = 11

RPTA.: B




4. Halle  , si   y   son números consecutivos.

A) 15 B) 14 C) 13
D) 12 E) 11

RESOLUCIÓN

Por dato:

 
n       - 8      n=8
n         1


74 7
   4  10 7
              3 1    

RPTA.: A

5. Sabiendo que :
además   Halle el valor de (m + b + d).

A) 2 B) 4 C) 3
D) 6 E) 8

RESOLUCIÓN

            También por dato:

  0   15


 m = 3; b = 0


RPTA.: C

6. Calcule el valor de “n” si “m” es máximo en:


“m” veces

A) 8 B) 9 C) 11
D) 14 E) 10

RESOLUCIÓN
Propiedad tenemos:

Pensando:
 (mayor valor)

 
 
RPTA.: C

7. Si:


Calcule:

A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13

RESOLUCIÓN
Caso Especial:


 Igualando:

* c = 5
*
*


    ; x = 2 y = 1

Pide:

RPTA.: C

8. En la siguiente expresión:



Halle M.

A) 42 B) 532 C) 24
D) 220 E) 44

RESOLUCIÓN

Analizando:
 
         
    y


    M = 24
RPTA.: C

9. Si se cumple que:



Calcule el valor de “n”

A)3 B)4 C)6
D)9 E)5

RESOLUCIÓN

 
 cambio de variable

 
Si  

      a=1 ; b=3; c=8
Luego:

RPTA.: E
10. Halle  sabiendo que:  
Sabiendo que: m < 9 y b > 4

A) 27 B)3 C)-5
D) -3 E)5

RESOLUCIÓN
  (Ordenando)

Luego:

RPTA.: D

11. Calcule la suma de las dos últimas cifras del numeral: , al expresarlo en el sistema de base  .

A) 6 B) 7 C) 5
D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN

 Base  

 de las 2 últimas cifras = 5

RPTA.: C


12. Si se cumple:


Calcule

A) 8 B) 10 C) 12
D) 13 E) 15

RESOLUCIÓN


“m”   divide a 9; 6  y 12 por tanto m = 3

Reemplazando.
 a mayor valor aparente menor base

Se verifica para: x = 4

Por descomposición:


Por división a base 4:

89   4
  1  22    4
    2   5     4
  1     1

RPTA.: C

13. Calcule :
Si:

A) 12 B) 14 C) 16
D) 18 E) 19

RESOLUCIÓN
 
n³ + 2n² = n² (n+2) = 8²(8+2)

RPTA.: E

14. Halle “x” en:
    si:      y

A)0 B) 2 C) 3
D)5 E) 6

RESOLUCIÓN
       

Luego en I
 


RPTA.:A

15. Si se cumple que:

(2n) numerales



¿Cuántas cifras tendrá el menor numeral de la base “n”, cuya suma de cifras sea 210, cuando se exprese en la base  ?

A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 5

RESOLUCIÓN

Aplicando propiedad.

En base

Número

Número de cifras =5
RPTA.:E

16. Halle  en la siguiente expresión:

 ; donde

A) 18 B) 24 C) 28
D) 41 E) 37

RESOLUCIÓN
Luego:


Transformando de base (n) a base

RPTA.: D

17. El mayor número de 3 cifras diferentes de la base n, se escribe en base 8 como 4205. Halle n.

A) 10 B) 11 C) 12
D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN
Sea:   el mayor

  pasando a base 10.


RPTA.: D

18. Se desea repartir S/. 1000000 entre un cierto número de personas, de tal modo que lo que les corresponda sea:

S/. 1 ; S/. 7 ; S/. 49 ; S/. 343;…

y que no más de 6 personas reciban la misma suma. ¿Cuántas personas se beneficiaron?

A) 16 B) 15 C) 14
D) 13 E) 12
RESOLUCIÓN
Transformando a base 7:

Número de personas:

RPTA.: A

19. Si se cumple:


Halle:

A)6 B) 7 C)5
D)9 E) 10

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

20. Si se cumple:
Halle la suma de cifras de n ; si es el máximo valor posible.

A) 37 B) 13 C) 11
D) 21 E)  10

RESOLUCIÓN
Descomponiendo:


RPTA.: D

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NUMERACIÓN II EJERCICIOS RESUELTOS

1. Si el término   avo de la siguiente serie aritmética es  .

Calcule “a +b” si: 30;…;48;51…

A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN
30;…;48;51…
Razón: 3.
Término 1: 30
Término n:   razón
 Descomponiendo:
30+3x -3=
30+3(10a+b)-3=10b+a
27+29 x a = 7 x b


1 8
a=1; b=8
a+b=9
RPTA.: D

2. Dada la siguiente progresión aritmética:


“n” términos
Halle: a+b+n

A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 19

RESOLUCIÓN
“n” términos





r = 10b+a+2-10a=10(b-1)+3b-10b-a-2

r =10b-9a+2=3b-a+8

7b = 8a+6  r = 13



 2 1
n=
a + b + n=19
RPTA.: E

3. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética:



A) 26 B) 17 C) 20
D) 19 E) 22

RESOLUCIÓN
Cálculo de la razón R:

Descomponiendo polinómicamente



x = 5   R = x - 1   R = 4


      + 4      + 4


n = 20
RPTA.: C

4. En la numeración de las páginas impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro?

A) 165 B) 330 C) 320
D) 145 E) 325

RESOLUCIÓN
Suponiendo la última página con  numeración PAR.
Cantidad de cifras de las páginas impares:

1, 3, 5, 7, 9,

5#s
5 x 1 = 5 cifras


11, 13, 15, 17,……., 97, 99

      45#s
45x2=90cifras

101, 103, 105, 107,……….


440-(5+90) = 345 cifras

Se han utilizado 345 cifras para escribir números de3 cifras:
3 cifras =
números de 3 cifras

Total de páginas impares
= 5+45+115=165 páginas.

Total de páginas =330
RPTA.: B

5. Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado?



A) 664 B) 665 C) 620
D) 653 E) 655


RESOLUCIÓN


11#s      1# 101#s


11 x 4    1 x 5 101.6

RPTA.: E

6. Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas tiene el libro?

A) 159 B) 157 C) 148
D) 195 E) 185

RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas será:
1, 2, 3, 4,……., 71, 72,……..,

“x” Cifras utilizadas



“(x+69)” cifras utilizadas

(La cantidad de cifras del 1 al 72) = (72+1)2-11=135

La cantidad de cifras utilizadas en las 72 últimas páginas será:

135+69=204

Entonces si al total de cifras desde 1ª “N”, le quitamos el total de cifras utilizadas desde 1 hasta (N-72) es igual a 204.

Asumiendo para N=3

N=159
RPTA.: A


7. En la siguiente serie, halle el término que ocupa el lugar ante penúltimo.
3, 9, 17, 27,……., 699

A) 559 B) 597 C) 647
D) 649 E) 585

RESOLUCIÓN
=
En el problema




RPTA.:B

8. ¿Cuántos números de la forma:
 existen?

A) 960 B) 2160 C) 3200
D) 3600 E) 2400

RESOLUCIÓN

1       2       0 0
2       3       2 1
3       4       4 2
.        .       6 .
.        .       8 .
.        .       .
.        .       .
7        .       .
8        9 9
C#s= 8 x     8  x   5   x    10 =3200

d= 0; 1; 4; 9; 16;…..; ;
RPTA.: C


9. En que sistema de numeración existen 136 números de las formas:

A) 16 B) 17 C) 18
D) 19 E) 20

RESOLUCIÓN
a+b= k-1 (máximo)
a=1; b=0; 1; 2; 3…;k-2 k-1
a=2; b=0; 1; 2; .…;k-3 k-2
a=3; b=0; 1; 2; .…;k-4 k-3
. .
 .        .
   .      .
a=k-2; b=0,12
a=k-1; b=0 1

 #s =

k=17
RPTA.: B

10. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?

A) 500 B) 625 C) 675
D) 635 E) 600

RESOLUCIÓN
Sabemos:


9x10x10=900 números de 3 cifras

Para hallar los números de3 cifras que tengan al menos 1 cifra impar y 1 cifra par, al total de números de 3 cifras se le debe restar los números de 3 cifras pares e impares luego:

# de 3 cifras pares
a b c
2 0 0
4 2 2
6 4 4
8 6 6
8 8
4   x  5   x   5 = 100#s

# de 3 cifras impares
a b c
1 1 1
3 3 3
5 5 7
7 7 5
9 9 9
5   x  5   x   5 = 125 #s

Entonces: 900-(100+125)675 #s
RPTA.: C

11. ¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000?

A) 900 B) 800 C) 700
D) 750 E) 810

RESOLUCIÓN
800 < ”capicúas”< 80000
  Capicúas

  ;    ;
8   0 1  0
9   1 2  1
2  3  2
. .   .
. .   .
.  .   .
9  9  9
2x10 = 20 9x10=90

1 0 0
2 1 1
1   2 2
. . .
. . .
. . .
7 9 9
7x10x10=700
C#s Capicúas= 20+90+700=810
RPTA.: B


12. ¿Cuántos números de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30?

A) 990 B) 800 C) 720
D) 500 E) 600

RESOLUCIÓN
Casos:   I  II
Producto de =30= 2x3x5 = 5x6
cifras
III  IV
=15 x 2 =10 x 3
Caso I : 10x9x8 = 720#s
Caso II : 10x9 =  90#s
Caso III : 10x9 = 90#s
Caso IV : 10x9 = 90#s
Total = 990#s
RPTA.: A

13. ¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura?

A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN
Nro capicúa:
Tenga 2 cifras “2”
En su escritura:


RPTA.: C

14. Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar?

A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN
2226 cifras

1,2,…9; 10,11,….99,100,……U
 
  9 #s 90 #s

Cifras:  9x1 90x2    2037 cifras

 2037  3
679  # s de 3 cifras


Última cifra =8
RPTA.: D

15. Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra  7?

A) 76 B) 67 C) 70
D) 74 E) 73

RESOLUCIÓN
La numeración de las páginas que comienzan con la cifra 7 será:
1,2,3,….,7,…..,70,71,…,78,79…,

1#s  10#s

700,701,702,..,746

47#s

El libro tiene 746 páginas
La secuencia de las páginas que terminan con la cifra 7 será:

7,17,27,37,47,…….,717,727,737

Total de números que terminan en la cifra 7:
Total=
Total= 74 números
RPTA.: D

16. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron.  


A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769
D) 2 772 E) 2 774

RESOLUCIÓN
En total de páginas =100
Si las 100 páginas arrancadas fueran todas de 4 cifras, faltarían en total 400 tipos de imprenta, pero sólo faltan 361, esto indica que algunas páginas son de 3 cifras.

Si cada página de 4 cifras reemplazamos por una de  3 cifras, la cantidad de tipos disminuye en 1.

Cantidad de páginas de 3 cifras = 400 -361 =39

La última página de 3 cifras es la 999
La última página de  3 cifras que quedaron es =999-39=960
Cantidad de tipos=3(960+1)-111=2 772

Total de tipos = 2 772  
 RPTA.: D


17. Si de los números del 1 a 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 ¿Cuántos números se marcan?

A) 506 B) 510 C) 511
D) 512 E) 515

RESOLUCIÓN
Sin 4 ó 7 del 1 al 1000, por análisis combinatorio tenemos:

* De 1 cifra:(1,2,3,5,6,8,9)=7#s

* De 2 cifras:

 7 x 8 = 56 #s

* De 3 cifras:

  7 x8x 8=448 #s

* De 4 cifras: (1000) 1#

Luego : 7 +56 +448+1 =512#s

RPTA.: D

18. Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras tendría si se enumerara en el sistema octal?

A) 3555 B) 4005 C) 3750
D) 4125 E) 4325

RESOLUCIÓN
x números de 3 cifras
x+y=40 x=5

y números de 4 cifras
3x+4y=155  y= 35
Última página =1034 =
# cifras =
RPTA.: A


19. Sea la P.A.:

donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es  .
Halle (a + b + c + d).

A) 26 B) 24 C) 30
D) 25 E) 13

RESOLUCIÓN
  a+b+c+d+=26
RPTA.: A

20. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de  3  cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15.

A) 5 B) 4 C) 3
D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN
 
Nros capicúas:
 
Además: w+z=15


Método combinatorio:
Por dato:
RPTA.: B

21. Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número.

A) 12 B) 13 C) 11
D) 14 E) 15

RESOLUCIÓN
Sucesión será:
4000;4001;4002………….…;N



“N” tipos de imprenta

Planteando el enunciado:
(Cantidad de números) x 4 =N

3N= 4x 3999
N= 4(1333) =5332
N=5332

Suma de cifras: 5+3+3+2=13
RPTA.: B

22. Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página.

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN
1;2;...6; ;…;  ;

6 números  números

 números x números


6cifras+ 42x2 cifras +294x3 cifras +x.4 =996

4x=996-972
4x=24
  x=6 números


1 + 0+ 0+ 5=6
RPTA.: C

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