SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR EJERCICIOS RESUELTOS

 

1. Del gráfico adjunto, halle “  ”.

A) 180º B) 360º C) 270º
D) 450º E) 540º

RESOLUCIÓN

Del gráfico:
() + (  90º) = 360º

    = 450º
RPTA.: D

2. Reducir:

A) 82 B) 80 C) 37
D) 2 E) 17

RESOLUCIÓN


RPTA.: A

3. Convertir 37g al sistema sexagesimal.

A) 33º B) 33º C)
D) E)  

RESOLUCIÓN

RPTA. : C

4. El factor que convierte cualquier número radianes en minutos centesimales es:


A) 3436,36 B) 3436,63
C) 6363,63 D) 6334,34
E) 4637,43

RESOLUCIÓN


 min. cent. =

 min. cent. =

RPTA.: C

5. En la figura mostrada, halle la medida del ángulo AOB en radianes.
RESOLUCIÓN


Luego:

RPTA.: A

6. De la figura mostrada, calcule:

RESOLUCIÓN
3 = xº
5 = yg
Luego:

 RPTA.: D

7. En un triángulo ABC la suma de las medidas de A y B es 90 grados centesimales y la suma de las medidas de B y C en el sistema radial es  rad. Halle la diferencia de los ángulos internos C y A.

A) 36º B) 99º C) 54º
D) 63º E) 9º

RESOLUCIÓN
ABC: A + B + C = 180º
A + B < > 90g = 81º  C = 99º
B + C =   < > 135º  A= 45º
 C  A =   54º
RPTA.: C

8. Cuatro veces el número de grados centesimales de un cierto ángulo se diferencian de su número de grados sexagesimales en 155. ¿Cuál es ese ángulo en radianes?

A) B)   C)
D) E)  
RESOLUCIÓN
4C  S = 155p
4 (10k)  9 k = 155
31 k = 155
K = 5

1

RPTA.: A

9. Si los números “S”, ”C” y “R” representan lo convencional para un mismo ángulo. Determine el valor de “R”, si “S” y ”C” están relacionados de la siguiente manera:
S = 6xx + 9 , C = 8xx  6

A) B)   C)
D) E)  

RESOLUCIÓN
Hacemos: xx = a



RPTA.: B

10. La mitad del número que expresa la medida en grados sexagesimales de un ángulo excede en 52 al quíntuplo de su medida en radianes. Calcule dicho ángulo en grados centesimales.

A) 120g B) 130g C) 140g
D) 150g E) 160g


RESOLUCIÓN


Luego: C = 10(14) =   140
 El ángulo mide 140g
RPTA.: C

11. Si al número de grados sexagesimales que contiene un ángulo se le resta 13, y a su número de grados centesimales se le resta 2, se obtienen dos cantidades en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

A) B)   C)
D) E)  

RESOLUCIÓN

3S – 39 = 2C – 4
3S – 2C = 35
3(9K) – 2 (10K) = 35
          7K = 35
K = 5


RPTA.: C

12. Se crea un nuevo sistema de medida angular “Asterisco”, tal que su unidad (1*) equivale a 1,5 veces el ángulo llano. Halle el equivalente de 5 ángulos rectos en este nuevo sistema.

A) B) 3* C)
D) 5* E) 1*

RESOLUCIÓN

Dato:
1* <> 1,5 (180º) = 270º

Piden:
x <> 5 (90º) = 450º


RPTA.: C

13. Si sumamos al complemento de un ángulo expresado en grados sexagesimales con el suplemento del mismo ángulo en grados centesimales se obtiene 195. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?

A) B)   C)
D) E)  
RESOLUCIÓN
(90  S) + (200  C)   = 195
95 = S + C
95 = 9K + 10K
K = 5


RPTA.: B

14. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal que la diferencia de su número de segundos sexagesimales y de su número de minutos centesimales sea 15700.

A) B) 2 C)
D) 40 E)

RESOLUCIÓN

Piden:


Condición:

  Número Número
Segundos  Minutos = 15700
  Sexg.  Cent.

3600 S       100 C = 15700
39(9n)  (10n) = 157
314n = 157


RPTA.: C

15. Si la diferencia de segundos centesimales y segundos sexagesimales que mide un ángulo es 27040. Calcule la medida (en rad.) de dicho ángulo.

A) B)   C)
D) E)  

RESOLUCIÓN
S = 9 n
Sabemos: C = 10 n
R =

Condición:


10000  (9n) =
 10000n  3240n = 2704
      6760n = 2704
RPTA.: E

16. Siendo “S”, “C” y “R” los números de grados sexagesimales, centesimales y números de radianes de un mismo ángulo respectivamente. Reducir la expresión:

M = S(  200) + C(180) + 20R

A) 0 B) 0,0016 C) 1
D) 0,246 E) 2,1416


RESOLUCIÓN
S = 180 K
C = 200 K
R = K

180K(-200)+200K(180)+20(K)=M
180K + 20K  200K+(200K)(180)
(180K)(200) = M

M =   0
RPTA.: A

17. Sabiendo que “S” y “R” son los números de grados sexagesimales y radianes de un ángulo, donde:


Halle “R”.

A) 5 B) 3 C) 4
D) 1 E) 2

RESOLUCIÓN
S = 180 K
C = 200 K
R =  K

k = 1
RPTA.: A


18. Halle “C” a partir de la ecuación:
 siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un mismo ángulo.

A) 20 B) 25 C) 40
D) 50 E) 10

RESOLUCIÓN

Condición:

5 1
20k (S5+C6R7) = 4 (S5 + C6 R7)
  k =

RPTA.: C

19. A partir del gráfico mostrado, determine la medida del ángulo AOB, si “” toma su mínimo valor.

A) 52g B) 30º C) 45g
D) 45º E) 135º

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

20. Se inventan 2 sistemas de medición  angular  “x”  e  “y”,    tal que:  25x < > 50g ,  además 80y < > 90º.
Determinar la relación de conversión entre estos 2 sistemas x/y.
A) B)   C)
D) E)  

RESOLUCIÓN
1x = 2g

8y = 9º

RPTA.: B

21. Sabiendo que:

Calcule:
A) 1 B) 2 C)
D) E) 3
RESOLUCIÓN

Luego:

a = 3 , b = 5, c = 2, d = 5, e = 0



RPTA.: E

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LONGITUD DE ARCO EJERCICIOS RESUELTOS

 

 

1. Calcule la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 1º y su radio mide 1800 cm.

A) m B)  m C)  m
D) m E)  m

RESOLUCIÓN

Si:
  ; 1800 cm = 18 m

Se pide:

RPTA.: D

2. Se muestra sectores circulares concéntricos, donde S representa área, obtener x. si S = 8L²

A) 2 L
B) 4 L
C) 5 L
D) 6 L
E) 8 L

RESOLUCIÓN
S = 8 L²

RPTA.: C

3. Si: AB + CD = 26. Halle el área del sector circular EOF.


A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

4. Una regadera instalada en un parque, tiene un alcance de 8 m y barre un ángulo de 120g. Calcule el área del sector circular que genera esta regadera.

A) 19,2  m² B) 17,6  m²
C) 18,9  m² D) 12,6  m²
E) 14,4  m²

RESOLUCIÓN
Si: 120g =
Se pide:

S = 19,2  m²
RPTA.: A

5. Si CAE es un sector circular y

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

RESOLUCIÓN
Se pide:

V = 3
RPTA.: B

6. Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m   a su radio, se obtendrá un nuevo sector circular que tiene un área que es 49 veces el área del sector circular inicial. Determine el radio del nuevo sector.

A) 2 m B) 3 m C) 5 m
D) 7 m E) 9 m

RESOLUCIÓN
Inicialmente:

Finalmente:


RPTA.: D


7. Halle el área sombreada:

A) 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5 

RESOLUCIÓN
Sx = SAOB  SCOD

RPTA.: C

8. Calcule: E = x³  x²  1, si:

A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9

RESOLUCIÓN

RPTA.: E

9. En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD tienen igual área. Halle:

RESOLUCIÓN
RPTA.: A

10. Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser:

A) 1 rad B) 2 rad C)
D) 4 rad E)  rad

RESOLUCIÓN
Condiciones:
ii) Perímetro = Perímetro

RPTA.: B

11. De   la   figura mostrada, AOF, BOE y COD son sectores circulares, además:

BC = DE = a, AB = EF = 2a,

Calcule: M = (2x + z) y1

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

RESOLUCIÓN

De la figura:

Luego:

RPTA.: C

12. Calcule:
Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas

RESOLUCIÓN

S1 = 2S
S2 = 3S
S3 = 10S


RPTA.: B

13. Dos postulantes de la UNAC, observan un reloj eléctrico cuyas agujas están detenidas, luego de la falla eléctrica en el Callao, uno de   los estudiantes dice que el área que  hacen   las   agujas es de 7,2 m² y si el reloj tiene un radio de 6 m. ¿Cuál será el arco entre las agujas?
Considere

RESOLUCIÓN
RPTA.: A

14. Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando la rueda menor gira º la mayor gira g. ¿En qué relación se encuentra los radios?
RESOLUCIÓN
Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda menor y mayor respectivamente.
En una bicicleta se cumple que:

RPTA.: C

15. Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas  si sus radios miden 3 m y 5 m
A) B)   C)
D) E)  

RESOLUCIÓN
1 + 2 = 144º
 L1 = L2  1R1 = 2R2

RPTA.: E


16. En el sistema mostrado, si la rueda A da   de vuelta, entonces la longitud recorrida por la rueda C es:

A) 3,6  B) 36  C) 1,8 
D) 18  E)  

RESOLUCIÓN

* A  B:
 LA = LB
       ARA = BRB
 

* B   C:
B = C =
     
RPTA.: B

17. Determine el área de la región sombreada, sabiendo que las áreas de los sectores AOB y COD son iguales ( y  en radianes)

RESOLUCIÓN

S + Sx = ST
Sx = ST  S

RPTA.: A

18. Del gráfico, halle el número de vueltas que dará una ruedita de radio 1,  al  ir  de  A  hasta B si CB = 8 y AOC es un sector circular.

A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN

L1  + L2 = 2 (1) . N

RPTA.: D

19. Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B.

A) 85 B) 9 C) 10
D) 10,5 E) 11

RESOLUCIÓN

Sabemos: r = () (21) = 21
 # vueltas =
#v = 10,5

RPTA.: D

20. De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la curva, si:  m AOB = 120º, r = 18u?
A) 24  B) 24,1 C) 24,2
D) 24,3 E) 24,4


RESOLUCIÓN
De la figura:

L = 24,1 
RPTA.: B

21. Sobre una superficie curva de radio “R” gira una rueda cuyo radio es “r” (ver figura). Si dicha rueda da una vuelta al ir de “M” a “N”. Calcule la longitud del arco MN. (  son centros).


RESOLUCIÓN


Del gráfico:
RPTA.: D

22. Dos móviles A y B parten al mismo tiempo y en las direcciones indicadas en la figura de los puntos P y Q respectivamente, si la velocidad de A es a la velocidad de B como 3 es a 7. Calcule cuando mide “” si se encuentran por 1era. vez en el punto R.

A) rad
B) rad
C)  rad
D) rad
E)   rad
RESOLUCIÓN
Espacio recorrido por el móvil A será   y del móvil B es el arco  .
eA = VAtA   y  eB = VBtB

Pero ambos parten al mismo tiempo tA = tB


Reemplazando:


RPTA.: D

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DIVISIBILIDAD II 24 EJERCICIOS RESUELTOS

1. La suma de trece números enteros consecutivos es de la forma  . Halle el mayor de los números.

A) 363     B) 368      C) 369
D) 375      E) 374

RESOLUCIÓN
De la condición:

Efectuando la suma indicada:
 
a = 7  13 N = 4797  N = 369


RPTA.: D

2. Si un número de 4 dígitos donde sus 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7. Halle la diferencia.

A) 777 B) 1 554 C) 2 331
D) 4 662 E) 6 993

RESOLUCIÓN

Descomponiendo

La diferencia:

RPTA.: E

3. Si:



Calcule el menor valor de:
(a + b + c)

A) 16 B) 10 C) 15
D) 12 E) 14

RESOLUCIÓN

De las ecuaciones: a + c =5
 
a = 3
c = 3
RPTA.: B

4. Se cumple:
Calcule: m x n x p

A) 72 B) 81 C) 90
D) 126 E) 162


RESOLUCIÓN

  par;

(+)(-)(+)

 ……………………………
2 3 1
 …………………………...



 ; p: par.
 …………………………………

      en

9 - n = 11

      en


RPTA.: E

5. ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras no son múltiplos de 495?

A) 872 B) 890 C) 896
D) 898 E) 899

RESOLUCIÓN


1 (10) 1 (10) 1
   4   9
   9      8
Hay 2 números  .
 

Números que no son
900 - 2 = 898
RPTA.: D

6. Si:
Halle “a”

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8


RESOLUCIÓN
El criterio más preciso es  ; porque se analiza todas las cifras.
Tendremo

a = 6
RPTA.: C

7. Halle:   si:
   y


A) 15 B) 16 C) 17
D) 18 E) 20

RESOLUCIÓN


Criterio:



Criterio

31 231
-    +


 p + n + x = 18
RPTA.: D


8. Sabiendo que:

 .

Halle la expresión:

A) 50 B) 52 C) 54
D) 56 E) 58

RESOLUCIÓN
Como 364 =
    en
  a = 7
b = 6
c = 4
d = 4
Verificando:

  ab + cd = 7 x 6 + 4 x 4 = 58
RPTA.: E

9. El número de la forma:   al ser dividido entre 4; 9 y 25  deja como residuo 2; 4 y 7 respectivamente. Halle “a”.

A) 6 B) 4 C) 3
D) 2 E) 0

RESOLUCIÓN
Por lo tanto:
Propiedad:
entonces:


  ; a = 2
RPTA.: D

10. Halle el residuo que se obtiene al dividir:   Entre 11.

A) 2 B) 3 C) 4
D) 1 E) 6

RESOLUCIÓN

       -  + -  + -  +




Gaus: modulo: 11

Cada vez que la potencia de 3 es múltiplo de  5 el residuo es 1.
RPTA.: D

11. ¿Cuántos capicúas de 4 cifras son divisibles por 99 pero no por 15?

A) 8 B) 9 C) 10
D) 7 E) 11

RESOLUCIÓN
Sea:
* Caso 1

a  + b = 9
9 0
8 1
7 2
6 3
4 5
3 6
2 7
1 8
  Hay ocho números

* Caso 2
   b = 9
  Hay un número
Rpta. 9 números
RPTA.: B

12. Halle el residuo de dividir el número 5678…979899 con 11.

A) 5 B) 6 C) 7
D) 2 E) 4

RESOLUCIÓN
5 6 7 8 9 10 11 12 … 98 99
RPTA.: B
13. Halle el residuo de dividir el número 13579…959799  con 9.

A) 6 B) 7 C) 3
D) 1 E) 0

RESOLUCIÓN
1  3  5 7 …. 95 97 99

(Criterio de divisibilidad)
=
(Suma de números impares)
=

RPTA.: B

14. Halle el resto de dividir el número:   Entre 7.

A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 0

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

15. Se tiene el numeral   es divisible por 8 y que al ser dividido entre 11,  el residuo es  10; y al ser dividido entre 9 el residuo es 2. Halle el mayor valor de:  (a + b + c).

A) 10 B) 12 C) 14
D) 16 E) 17

RESOLUCIÓN
*
 
4 2 1 c = 2; 6
 

Si
 
RPTA.: E

16. Se sabe que

Calcule el residuo de dividir N entre 11.  Si

A) 5 B) 3 C) 8
D) 2 E) 1

RESOLUCIÓN

descomponiendo:

Resto: 3
RPTA.: B

17. Halle el residuo de dividir con 10 el número

A) 0 B) 1 C) 3
D) 6 E) 8

RESOLUCIÓN

RPTA.: A

18. ¿Cuántos valores puede tomar “a” si el número   de 16 cifras es divisible entre 8?

A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 7


RESOLUCIÓN
    16 cifras

  :
se cumple para todo “a”
  a = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
  a toma 8 valores
RPTA.: D

19. Calcule “a x b”; si   es divisible entre 10 y al ser dividido entre 8 el resto es 2.

A) 4 B) 15 C) 35
D) 21 E) 5

RESOLUCIÓN
*
+-+-+- +
 

*

Para   b = 7
          a = 5
 
RPTA.: C

20. Un animalito va de “A” hacia “B” dando saltos de 15 cm y regresa dando saltos de  16 cm. Después de haber recorrido 1,22 m se detiene. ¿Cuánto le falta para llegar al punto A?

A) 48 cm.
B) 42 cm.
C) 52 cm.
D) 58 cm.
E) menos de  40 cm.

RESOLUCIÓN

Modulo


Reemplazando:

La distancia de A a B es:
16(6) = 90 cm
Falta: 90  16(b) = 58
RPTA.: D

21. Si  . Con “n” mínimo. ¿Cuál será el residuo por exceso que se obtiene al dividir entre 26 al menor número de 5 cifras diferentes de la base n?

A) 8 B) 12 C) 14
D) 16 E) 10

RESOLUCIÓN

Menor número de  5 cifras diferentes en base 5:


Descomponiendo:

Por defecto = 18
Por exceso = 8
RPTA.: A

22. Un niño si cuenta sus canicas agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2 canicas; si las cuentan de  6  en 6 le sobran 3; y si las cuentan de  8 en 8 le faltan 5; por lo que decidió agruparlos de 9 en 9, así no le sobra ninguna canica. Si la cantidad de canicas se encuentra entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas tiene el niño?

A) 438 B) 480 C) 483
D) 485 E) 603


RESOLUCIÓN
Sea “N” la cantidad de canicas que tiene el niño:


Entonces:

Pero:    

 
RPTA.: C

23. ¿Cuál es la suma de las cifras del mayor número entero de tres cifras, tal que si se le resta la suma de sus tres cifras el resultado es divisible por 13?

A) 26 B) 20 C) 15
D) 23 E) 24

RESOLUCIÓN
    +
a = 9
b = 5
c = 9
 
RPTA.: D

24. ¿Cuántos números de dos cifras hay, que al elevarse al cuadrado y al ser divididos entre cinco dejan resto cuatro?

A) 18 B) 48 C) 32
D) 45 E) 36

RESOLUCIÓN


RPTA.: E

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GEOMETRÍA ANALÍTICA 25 EJERCICIOS RESUELTOS

 

1. Sean: A (-2;5); B (3;-2) y C (10;b); puntos del plano.
Si d (A, B) = d (B,C), Halle el valor de b, si es negativo.

A) -3 B) -5 C) -7
D) -8 E) -9

RERESOLUCIÓN

donde: b=3  

RPTA.:C

2. Dado el punto A (-2;5) y B (m;8). Halle la suma de valores de “m” si la distancia de AB es 5.

A) -1 B) -2 C) -3
D) -4 E) -6

RESOLUCIÓN

i)
ii)
Suma = -4

RPTA.: D


3. Los vértices de un cuadrado ABCD son: A(2;3) y C(5;7)
Halle el área del cuadrado.

A)   B)   C)
D)   E)  

RESOLUCIÓN

Luego:


RPTA.: C

4. Se tiene un triángulo equilátero cuyos vértices son: A (-1;2) y               B (2;6).
Determine el perímetro de dicho triangulo.

A) 20 B) 15 C) 10
D) 11 E) 12
RESOLUCIÓN

Luego: Perímetro=15
RPTA.: B

5. Tres vértices de un paralelogramo son: A(-1;4), B( 1;-1) y C(6;1). Si la ordenada del cuarto vértice “D” es “6”, Halle su abscisa.

A) 5 B) 4 C) 6
D) -4 E) -6

RESOLUCIÓN
En la figura:
i)
ii)

 

 (-1;4)+(6;1)=(1;-1) +(X;6)

 (4;6)=(X;6)



RPTA.: B


6. Cuál de los siguientes triángulos ABC, tienen mayor área.

a) A (-5,0), B (1,2) y C (1,-2)
b) A (1,1), B (6-4) y C (5,3)
c) A (2,0) , B (6,0) y C (4,12)

A) a B) b
C) c D) Todos tiene igual área

RESOLUCIÓN
a)

b)

c)
RPTA.:C

7. Encontrar las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento  , si:
Dar como respuesta el más cercano a “B”



RESOLUCIÓN

P = (2; 6)
RPTA.: C

8. Se tiene el triángulo A (4,8),             B (6;-2), C (-10; 6). Halle la distancia del vértice “B” al baricentro del triángulo.

RESOLUCIÓN

RPTA.:B

9. Si los puntos medios de los lados de un triángulo son (2;1) , (3;-2) y (-1; -3). Calcule el área de dicho triángulo.



RESOLUCIÓN

A = 4S


S

S = S=

A = 4S
A = 28µ²
RPTA.: B

10. Se tiene un cuadrilátero cuyas coordenadas son: A(-3;-1);                B (-2,4); C (5;3) y D . Si M es el punto de intersección de sus diagonales, halle la suma de las coordenadas del punto N, si es punto medio de  . Donde:  

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN

Se pide:

RPTA.: C

11. Se tiene un triángulo ABC cuyas coordenadas de sus vértices son: A (1;0), B (11;8) y C (x;0). Si M es punto medio de    y la medida del ángulo agudo MCA es  . Halle la suma de las coordenadas del baricentro del triángulo AMC.  

A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN

Se pide:

RPTA.: D

12. Dos vértices de un triángulo equilátero son (-2;9)  y (3;-3). Cuánto mide la altura relativa a dicho lado.

RESOLUCIÓN


Se pide:

RPTA.: E

13. El área de una región triángular es
 , dos de sus vértices son los puntos A (2;1) y B ( 3;-2); el tercer vértice C está situado en el eje X. Halle sus coordenadas.

RESOLUCIÓN
8 =
i) 8 = 3x  7
15 = 3x
x = 5
ii) 8 = 3x  7
1 = 3x
x =
RPTA.:C

14. El segmento que une  con   se prolonga hasta   sabiendo que  Halle las coordenadas de C.

A)   B)  
C)   D)  
E)

RESOLUCIÓN


Formula de división de un segmento en una razón dada:


RPTA.: E

15. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P (2;5), Q (4;2) y R (1;1) . Halle las coordenadas de los tres vértices.
Indique como respuesta la suma de las abscisas y las ordenadas de los tres vértices.

A) 7 B) 8 C) 10
D) 12 E) 15


RESOLUCIÓN

Fórmula del Punto Medio:

2=  (+)
1=


2=
5=     (+)
1=

RPTA.: E

16. Dado los puntos M (2;2)  y                   N (5;-2). Determine en el eje de las abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto.

A) (6;0) ó (1;0)
B) (3;0) ó (7;0)
C) (6;0) ó (-1;0)
D) (3;0) ó (8;0)
E) (-3;0) ó (1;0)

RESOLUCIÓN
En todo   se cumple:

  ó
RPTA.: A

17. Si G (3; 4) es el baricentro de  un triángulo ABC y G,(4/3,2),            (3;19/3) son los baricentros de los triángulos formados uniendo G con los vértices A, B y C; determinar  las coordenadas de estos vértices.

A) (2;-2),(8;10),(-2;4)
B) (3;-3),(8;10),(-2;5)
C) (1;-1),(8;10),(-2;5)
D) (3;-3),(6;8),(-1;4)
E) (3;-3),(6;8),(-1;4)

RESOLUCIÓN

Sean:  



Formula del baricentro:

 
(3) en (1):

(4) en (1):

  (5) en (2):

   
(6) en (2):   En (2) :

   

RPTA.: B


18. Halle el punto “P”  de la figura
RESOLUCIÓN


   P =
RPTA.: A

19. Dado los puntos A (m-1; n+2) y B (2;3). Si el punto Q divide al segmento AB en la proporción:   siendo
Halle: (m + n).

A) -2 B) -4 C) -6
D) -8 E) -10

RESOLUCIÓN



RPTA.: D

20. En la figura, calcule la distancia   Si  S: Área

RESOLUCIÓN

Del gráfico:

RPTA.: A

21. Halle el área de aquella región triángular donde 2 de sus vértices son (0;0) y (6;6), además se sabe que el punto de intersección de sus medianas es ( 4/3 ;4).
RESOLUCIÓN


Del Gráfico:
i)

 
ii) S =
  S =
 RPTA.: C

22. Los puntos A(-2;3); B(1;1),           C(3;a) con a >0 y D(b;c) son los vértices de un cuadrado.
Calcule:

A) 6 B) 10 C) 8
D) 2 E) 12

RESOLUCIÓN

de donde :
 

Se pide:



RPTA.:B

23. Si 0 (0;0);   y  , donde es el punto de intersección de   y  . Si P divide a ambos segmentos en la misma razón. Halle la suma de las coordenadas del punto  .

A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN
 

Se pide:

RPTA.: D

24. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A (2;-1) y B (-1;2) y los lados iguales miden cada uno  ., Halle el vértice opuesto al lado desigual.

A) (1;1) ó (-3;-3)
B) (3;3) ó (-2;-2)
C) (4;4) ó (-1;1)
D) (5;5) ó (-2;2)
E) (-3,3) ó (3;3)


RESOLUCIÓN
   
        1
De (2);x =y

En (1):

  x=3 ó  x=-2

  P =(3;3) Ó (-2;-2)
RPTA.: B

25. Se tiene los vértices de un triangulo   Y                         y C (-2;-2). Determinar el radio de la circunferencia circunscrita al triangulo ABC.


RESOLUCIÓN




Sabemos:

RPTA.: A

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LA RECTA EJERCICIOS RESUELTOS

 

1. Halle la diferencia de  : si:


A) 2 B) 2,5 C) 3
D) 3,5 E) 4

RESOLUCIÓN
Calculamos las pendientes:

RPTA.: D

2. De la figura, halle: “K”

A) 6a B) 7a C) 8a
D) 9a E) 10a

RESOLUCIÓN 

RPTA.: E

3. Determine la pendiente la recta, cuya ecuación es:  , para que pase por el punto de intersección de las rectas:

A) B)   C) 7
D) -7 E) 1

RESOLUCIÓN

RPTA.: C

4. Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas
A) 4x+y-10=0 B)4x+y-2=0
C) 4x+y+10=0 D)4x-y+2=0
E) 2x+y – 8=0

RESOLUCIÓN
Si:
2x+y-8=0;
3x-2y+9=0

Resolviendo ambas ecuaciones
x=1; y=6  P (1;6)

Se pide:


RPTA.: A

5. Una recta que pasa por el origen y por la intersección de las rectas    y  . Halle la ecuación.

A) 4y-x=0
B) x-4y=0
C) 4y+x=0
D) x+4y=0
E) x+y=0

RESOLUCIÓN
Hallamos el punto de intersección de   y  :

Si (0,0) y (4,1)  .

Determinamos la ecuación:

RPTA.: A

6. Si la ecuación lineal  de la recta L es: 5x+3y–4=0 y el punto (2;k) pertenece a dicha recta. Hallar: K

A) 0 B) -1 C) -2
D) -3 E) -4

RESOLUCIÓN

  k=-2
RPTA.: C


7. Halle “n” de modo que la recta   corta al segmento   en el punto “P” tal que:7 ;además
A) 1 B) C)
D) -2 E) 2

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

8. Halle la ecuación de la recta mediatriz del segmento   si:


A) x+y+7=0 B) x-y-7=0
C) x+y-7=0 D) x-y+7=0
E) x+y=0


RESOLUCIÓN


Del Gráfico:
i)
Como:
Entonces:


ii)

  x + y – 7 = 0
RPTA.: C

9. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el baricentro del triángulo ABC, y el origen de coordenadas.
Si: A (3; 1), B (5; 7), C (7; 2)

A) 2x-5y=0 B) 2x+5y=0
C) 5x-2y=0 D) 5x-2y=0
E) 3x-5y=1

RESOLUCIÓN

 


RPTA.: B

10. Si   y  . Son las ecuaciones de dos rectas perpendiculares y si “  son sus pendientes, halle el valor de  .

A)   B)   C)
D)   E)  

RESOLUCIÓN
:
:

Como: :

Luego:  
 
RPTA.: C

11. Halle la ecuación de la mediatriz del segmento que se forma al interceptarse con los ejes coordenados la recta  .

A) 6x-8y+7=0 B) 6x+8y+7=0
C) 6x+8y-7=0 D) 6x- 8y -7=0
E) 3x+4y-7=0


RESOLUCIÓN

      :
 
RPTA.: B

12. Si la recta  pasa por el punto P (2;-5) y es paralela a la recta  .
Halle: “a + b”

A) 10 B) -10 C)2
D) -2 E) 0

RESOLUCIÓN
i) Como  
 a(2)+2(-5)-6+b=02a+b=16…(I)

ii) Como
* ax+2y-6+b=0
* 3x+y-8 =0


“a” en (I): 2(6)+b =16b=4

  a+b=10
RPTA.: A

13. Si   es perpendicular a la recta   Si  . Halle B  C

A)   B) 1 C)
D) E) -1

RESOLUCIÓN

Se pide:
RPTA.: E

14. Calcule el área de la región triangular formada por la intersección  de las rectas.
;
y el eje Y.

RESOLUCIÓN

Si:
x=0; y=2: (0;2)
x=5; y=-2: (5;-2)

Se pide:


  RPTA.: D

15. Halle el área de la región triangular que forma la recta,
 , al intersectar a los ejes coordenados.
RESOLUCIÓN

Área=

RPTA.: D


16. Los vértices de un triángulo son los puntos  A (1;0), B (-4;5) y           C (2;8). Halle la longitud de la altura relativa al lado BC.

RESOLUCIÓN

De la figura:
i)

RPTA.: C

17. Una recta  pasa por los puntos (3;2) y (-4;-7)  y otra recta   que pasa por el punto (-6;1) y el punto A cuya ordenada es -5. Halle la abscisa de A sabiendo que  es perpendicular a  .

RESOLUCIÓN
 pasa por (3;2) y (-4;-7) calculamos la pendiente

Como  
 Si A(a;-5) y (-6;1)  tenemos:

-54= 7a  42

RPTA.: A

18. Del gráfico, halle la abscisa x, Si S representa área.
RESOLUCIÓN
 
RPTA.: B

19. Sean A (-1;2), B(3;4)  y C(5;7) los vértices de un triángulo.
Si   es la recta que contiene a la altura del triángulo relativa al lado  . Halle a + b.

A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN

Como
Ecuación

Se pide:
a + b = 2 + 1 = 3
RPTA.: B

20. Halle la medida del ángulo obtuso que forman dos rectas, cuyas pendientes valen “ ” y “ ” respectivamente.

A) 127º B) 120º C) 150º
D) 135º E) 143º

RESOLUCIÓN
Del gráfico:

 
RPTA.: D
21. Halle la ecuación de la recta de pendiente positiva que pasa por el punto P (0;1) y forma un ángulo de  45º con la recta


A) x+5y+5=0 B)x-5y+5=0
C) x-5y-5=0 D)x-3y+3=0
E) x-3y-3=0

RESOLUCIÓN

ó
 
RPTA.: B

22. Calcule Ud., el área que se forma al graficar:

A) 50 µ² B) 75µ²
C) 100 µ² D) 150 µ²
E) 200 µ²

RESOLUCIÓN
RPTA.: C

23. Determine el área y perímetro de aquella región triangular que se forma al intersectarse la recta   con los ejes coordenados.
 
A)   B)
C)   D)
E)

RESOLUCIÓN
Recta  
Intersecciones con los ejes coordenados:


* Perímetro de la región
 

* Área de la región
=
RPTA.: B

24. En la figura, halle la ecuación de la recta L.

RESOLUCIÓN
Los puntos de intersección son: 
Ecuación L:

RPTA.: C


25. Una recta pasa  por los puntos  y (9;7)otra pasa por los puntos  (3;9) y (-2; 8). Determine al ángulo agudo que forman estas rectas.

A) 45º B) 135º C) 60º
D) 53º E) 75º

RESOLUCIÓN
Como los puntos:
(-2;1) y (9;7)

Calculamos la pendiente:  

Como los puntos:
(3;9) y (-2,-8)

RPTA.: A

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