SEGMENTOS - ÁNGULOS EJERCICIOS DESARROLLADOS IMPRIMIR GRATIS

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* Ángulos opuestos por el vértice

La geometría es una parte de la matemáticas que tiene por objeto el estudio de las propiedades y relaciones de las figuras geométricas.
Caracter de la Geometría
Vamos ahora a entrar en un ramo de las matemáticas que difiere radicalmente de la aritmética y el álgebra; pero que, si bien hace uso frecuente de cálculos numéricos, ecuaciones y fórmulas, tiene por objeto principal el estudio de las formas o figuras, tales como rectángulos, triángulos y círculos, de que la aritmética y el álgebra no dan más que ideas muy generales.
I ) Geometría plana o planimetría
Se ocupa de todas aquellas figuras cuyos puntos
constitutivos se hallan en un mismo plano.
II) Geometría del espacio o estereometría
Se ocupa del de todas aquellas figuras cuyos puntos consecutivos no se hallan en un mismo plano

1. En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D, E; siendo: AD + BE = 20 y BD =  . Calcule BD.

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN

* De dato
AD   +   BE = 20

4ab + a+b = 20
   5a = 20

     a = 4
RPTA.: B

2. Se tiene los puntos consecutivos A, B, C;  tal que:
(AB).(AC) = 2(AB2–BC2 ), AC = 6u. Calcule BC.

A) 1 u B) 2 u C) 3 u
D) 4 u E) 5 u

RESOLUCIÓN

Dato :
AB x AC   = 2(AB2 – BC2)
(6  x) x AC = 2(AB+ BC)(AB – BC)
6  x = 2(ABBC)
6  x = 2(62x)
 3x  = 6
x    = 2
RPTA.: B

3. En  una  recta   se   tienen los puntos consecutivos: G, E, O, M y T, siendo   y “O” es punto medio de  . Calcule EO + 2MT.

A) 27 B) 39 C) 31
D) 33 E) 35

RESOLUCIÓN
* Del dato: 3a = 4b 

*   3a  +  4b  = 36


* x = EO + 2MT

RPTA.: D

4. En una recta se ubican los puntos consecutivos  P,  Q,  R  y  S,   tal que PQ = 2(RS)  ,   QR = 2    y
  =  .  Calcule QS

A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN
Datos:
PQ = 2(RS) = 2a
QR = 2


Piden:
QS = (2 + a) = ?

Reemplazando en ()

a² = 4 + 3a

Resolviendo:
  a = 4
QS = 6
RPTA.: C

5. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si (AB)2 + b(AC) = (AC)2 + (BC)2 ; calcule BC.

A) b B) 2b C) b/2
D) b/4 E) 4b

RESOLUCIÓN

Datos:
(AB)² + b(AC) = (AC)² + (BC)²

Piden:
BC = x = ?

Reemplazando y ordenando el dato:

    DIFERENCIA DE
      CUADRADOS


      (AC) (ABBC)  = AC(AB+BC  b)
               (ABBC) = (AB + BC  b)
     b = 2BC
 
RPTA.: C

6. Sobre la línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C, luego se ubican los puntos medios X de  ,  y de    y Z de  .
Si: AB – BC = 36, calcule ZB.

A) 12 B) 18 C) 9
D) 20 E) 8

RESOLUCIÓN
Datos:
X  punto medio de   (AX=XB)
Y  punto medio de   (BY = YC)
Z  punto medio de   (XZ=ZY)
AB  BC = 36

Piden: ZB = a = ?
BY = YC = b
XZ = ZY = a + b
AX = XB = 2a + b

Reemplazando:
   AB  BC = 36
(4a + 2b)  (2b) = 36
 4a = 36
   a = 9
RPTA.: C

7. En una recta se ubican los puntos consecutivos P, Q, R y S.
Si (QR)(RS) = K(RS – RQ)  y  . Calcule PR

A) 2K B) K C) K/3
D) K/2 E) K/4

RESOLUCIÓN

Datos:
(QR) (RS) = K (RS  RQ).... (I)
  .....................(II)

Piden:
PR = x = ?

De (I):

       ...(III)

De (II)

(x  a)x = x²  b(x  a)
(x  a) (x + b) = x²
x² + bx  ax  ab = x²

 ab = x (ab)
 

De (III)
   k
RPTA.: B

8. Sobre  una recta  se toman  los  puntos  consecutivos  O ,A, B y C. Calcule OA,

Si:  , (AB).(AC) = 289

A) 11 B) 13 C) 15
D) 17 E) 19

RESOLUCIÓN

(AB).(AC) = 289
(a-x).(b-x) = 289


ab – ab +x2 = 289
              x2 = 289

 x = 17
RPTA.: D

9. En una recta se tienen los puntos consecutivos P, Q, R, S; siendo:   y PQ.RS = m. Calcule PS.QR

A) B)   C) 2m
D) m E)  

RESOLUCIÓN

Adecuando el dato:

RPTA.: E

10. En una recta se tienen los puntos consecutivos:  A,  B,   C;   siendo AC = 10, luego se ubican los puntos medios: M, N, R y Q de   respectivamente. Calcule RQ.

A) 2,0 B) 2,5 C) 2,8
D) 3,0 E) 3,5

RESOLUCIÓN

RPTA.: B

11. Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD , tal que:                      
  luego se traza    bisectriz  del  AOC, de tal forma que:
m AOM - m COB+m COD = 40º.
Calcule m MOB + m COD

A) 30º B) 35º C) 40º
D) 45º E) 60º

RESOLUCIÓN
m AOB = 5
m BOC = 3
 : bisectriz del   AOC
 (m MOB = )
m AOM  m COB +
m COD = 40º .............(I)

m MOB + m COD =  +  = ?


Reemplazando en (I)

   +  = 40º
RPTA.: C

12. Sean dos ángulos cuya suma de sus medidas es 100º y la diferencia de sus complementos es 20º. Calcule la razón de las medidas de dichos ángulos.

A) 2/3 B) 1/3 C) 1/4
D) 3/7 E) 2/9

RESOLUCIÓN
Sean los ángulos:
a + b = 100º ................. (I)
C(a)  C(b) = 20º ..............(II)
P iden:
En (II)
(90º  a)  (90º  b) = 20º
    b  a = 20º
En (I)
a + b = 100º
Resolvemos:
a = 40º
b = 60º

RPTA.: A

13. Se tienen los ángulos adyacentes y complementarios AOB y BOC, luego se trazan las bisectrices   de los ángulos AOB, BOC, AON y MOC respectivamente. Calcule  .

A) 15º B) 18,5º C) 20º
D) 22,5º E) 25º


RESOLUCIÓN


* 2 + 2 = 90º
    +  = 45º

*  º

RPTA.: D

14. Se tienen los ángulos consecutivos AOB,   BOC,   COD,   DOE,    EOF de tal manera que:
m AOD=m BOE=m COF y m DOF + m AOD=224º. Calcule la medida  del  ángulo formado  por la bisectriz del  ángulo COD y  el  rayo  , si : m BOC = 52º.

A) 52º B) 60º C) 70º
D) 82º E) 102º

RESOLUCIÓN


“OR” es la bisectriz  del   COD.

*m AOD=m BOE =
  m COF=++2

*m AOF = 224º
        2+2+2 = 224º
              ++ = 112º .….. (I)

*m BOC = 52º  = 52º.… (II)

(II )  en (I)
+52º + = 112º  + = 60º

 x =  +  = 60º
RPTA.: B

15. Si: m AOB = , calcule “x” si  el  AOB es dividido en partes de medidas iguales por “n” rayos interiores.
A) /n B)    
C)   D)  
E)

RESOLUCIÓN

“n” rayos interiores entonces son “(n+1)”  ángulos interiores
mAOB = (n+1)= =
x =  - 3
x =  - 3  =  
RPTA.: D

16. El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al doble del complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del complemento del mismo ángulo. Calcule el suplemento del doble de la medida del ángulo.

A) 120º B) 45º C) 135º
D) 60º E) 75º

RESOLUCIÓN
Sea “x” el ángulo

S(2X) = ?

Resolviendo (I)
180º[(180x)(90x)]= 2[90º(180xx)]
180º  [90º] = 2[2x  90º]
  90º = 2 (2x  90º)
    45º = 2x  90º
      2x = 135º
S(2x) = S(135) = 45º
RPTA.: B

17. Se  tiene   dos   ángulos adyacentes, AOB y  BOC, cuya suma de sus medidas es 100º (m AOB< m BOC). Se trazan las bisectrices   y  . Calcule la medida del ángulo BOC si la bisectriz del ángulo NOM determina con   un ángulo  que mide 20º.

A) 90º B) 40º C) 80º
D) 60º E) 70º

RESOLUCIÓN

Datos:
m AOB + m BOC = 100º
-  bisectriz del  AOB
(m NOA = m NOB = )
-  bisectriz del   NOM
(M NOQ = m QOM = 20º+)
- m QOB = 20º
- bisectriz del   BOC
(m BOM = m MOC =  + 40º)

Piden:
m BOC = 80º + 2 = ?

Reemplazando:
m AOB + m BOC = 100º
      2 + (80º + 2) = 100º
       4 = 20º
 = 5

m BOC = 80º + 2 = 90º

RPTA.: A

18. Según  el gráfico    y    . Calcule  el  valor  de “x”.


A) 25° B) 40° C) 10°
D) 30° E) 20°

RESOLUCIÓN


Del gráfico (en  )
6x + 3x = 180°
x = 20
RPTA.: E

19. Si:  , calcule  el valor de “X”.

A) 150° B) 130° C) 120°
D) 160° E) 135°

RESOLUCIÓN

i) Propiedad:
4 = 90º
 2 = 45º ...............................(I)

ii) Por ángulos de lados perpendiculares
x + 2 = 180º ....................... (II)

De  (I)  y (II)
x = 135°
RPTA.: E

20. Si:   . Calcule la relación  de m y n.

A) 1         B) 1,5 C) 2
D) 2,5 E) 3

RESOLUCIÓN

Si:
         a + b + n = 180º
m = 2n 
RPTA.: C

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TRIÁNGULOS I EJERCICIOS DESARROLLADOS IMPRIMIR GRATIS

 

 

1. En la  figura, calcule el valor  de  “x”

A) 40° B) 45° c) 50°
D) 60° E) 80°
RESOLUCIÓN
De  la  figura:

APC: 2 + 2 + 100 = 180°
      +  = 40°

Luego:
     :  +  +x = 100°

     40 +x = 100  x = 60°
RPTA.: D

2. Si:  a + b + c = 130º. Calcule “2x”

A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 22º 30´
RESOLUCIÓN
Si: a + b + c = 130°


Propiedad del cuadrilátero:
a + b = 2x + 90º .................e

  130º  = 2x + 90º
       2x = 40º
RPTA.: D

3. En el  gráfico: ABC  es  equilátero  y   . Calcule: “x”.

A) 100º B) 98º C) 105º
D) 120º E) 110º

RESOLUCIÓN
El   ABC  es  equilátero:

(30°) + (180° -x°) = x°
                    210° = 2x°
             x° = 105°
RPTA.: C

4. Calcule  el  valor  de “” , si AB= BC y AC=CE=ED.

A) 10º B) 15º C) 12º
D) 18º E) 24º

RESOLUCIÓN

ACE:

   10 = 180°
  = 18°
RPTA.: D

5. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el  punto D, de modo que AC=AD, mADC=80º y mBCD=15º. Calcule la mBAD.

A) 15º B) 20º C) 35º
D) 45º E) 55º

RESOLUCIÓN

En el  ABC
x + 20°  = 65°
 x = 45°
RPTA.: D

6. En la figura  adjunta  se  tiene  el  triángulo  isósceles  ABC  en  el  que  se  inscribe  el  triángulo  equilátero DEF. La  relación  correcta  entre a; b y  c  es:

A)           B) a-b-c = 0
C)                 D)
E)

RESOLUCIÓN

Como el  DEF es  equilátero  se  cumple:

60° + b = +a .............. ( 1)
+c = 60 + a ..............  ( 2)

De  (1)  a  (2)

RPTA.: D

7. En la  figura  se  cumple:
x+ y + z = 360°;  siendo x ; y, z; números  enteros .
Calcule: x+y+z

A) 6 B) 5 C) 4
D) 3 E) 2

RESOLUCIÓN

Se   cumple:
m + n +   +  = 360° ...... ( 1 )
m +n =   +   ................  ( 2 )

( 2)  en (1)
 1  + 1 + 2 = 360°
 x  +  y  + z = 4
RPTA.: C

8. En la figura, calcule x + y,
si: m + n = 150º

A) 150° B) 200° C) 225°
D) 255° E) 270°
RESOLUCIÓN
1)      x = 90º +
2)      y = 90º +
3) suma x + y = 180 +   ...(I)
4) Dato: m + n = 150º ...........(II)
5) (II) en (I)
x + y = 180 +
x + y = 180 + 75º
x + y = 255º
RPTA.: D

9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF que resulta ser igual al lado  AB. Si la mC = 15º. Calcule la  mABF.

A) 50º b) 30º C) 45º
D) 70º E) 60º

RESOLUCIÓN

 ABF : x+x+15º +x+15º = 180º
                                 3x = 150º
                                   x = 50º
RPTA.: A

10. En la figura AB = BC y                                AC = AD = DE = EF = FB
Calcule la medida del  ángulo ABC.

A) 15º B) 18º C) 30º
D) 36º E) 20º

RESOLUCIÓN
Completando  ángulos:
mBAC = mACB = 4x
mDAC = x

ACD : 4x + 4x + x = 180º
                           x = 20º
RPTA.: E


11. En la figura mostrada, calcule “x”.

A) 60º B) 40º C) 80º
D) 70º E) 50º

RESOLUCIÓN
Del gráfico:
 exterior:
8 + x = 8
        x = 8( - )
3 + 30º = 3
 -  = 10º
 x = 80º
RPTA.: C

12. En la figura, calcule “x”:

 A) 8° B) 15° C) 12°
D) 18° E) 10°

RESOLUCIÓN
4 + 4 = 40º +180º
      + = 55º
3 + 3 = x = 180º
     3. 55 + x = 180º
                 x = 15º
RPTA.: B

13. En la figura, calcule: "x", si: =20°.

A) 30° B) 40° C) 50°
D) 45° E) 35°

RESOLUCIÓN
Dato-=20°……….(1)
   ABC: Propiedad: mB=100°

Luego:
=80°
 =40° ……………(2)

Ec.(1) + Ec.(2):

2
 =30°   y  =10°
 x = = 30° +  2(10°) = 50°

RPTA.: C


14. En la  figura: a+b = 36. Calcule el  mayor  valor  entero  de  “x”.


A) 20 B) 21 C) 22
D) 26 E) 25

RESOLUCIÓN
Dato: a + b = 36
ABC : x < 10 +a .................. ( I)
ACD : x < 8 + b .................. ( II)
 (I) +(II)
2x < 10 +8 +a+b
2x < 54
x < 27
 xmax = 26
RPTA.: D

15. En  la figura, calcule: “x”.



A) 144º B) 150º C) 136º
D) 160º E) 120º


RESOLUCIÓN
x + = 180º  x =180º - 

2 +2 +  = 5 = 180º
  = 36º
 x = 180º - 36º = 144º
RPTA.: A

16. Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD
A) 82º B) 83° C) 84°
D) 85° E) 86°
RESOLUCIÓN

1) EPD, m AEP = x + 4º
2) ABE isósceles
m AEB = m ABE = x + 4º
m BAE = 180º  2(x + 4º) ....(I)
3) x + 4º < 90º
x < 86º ...............................(II)
4) ACD a mayor lado se opone mayor ángulo
180º 2(x+4º) < 4º
84º< x ................................(III)
5) De (II) y (III)
84º < x < 86º
x = 85º
RPTA.: D

17. Calcule  “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero.

A) 62º B) 82º C) 88º
D) 92º E) 98º

RESOLUCIÓN
1) 2x  y + x + y + y  x = 180
    2x + y = 180
   y = 1802x ......(I)
2) En A:
2xº  yº > 0º (no existe ángulo negativo)
     2xº > yº ........................(II)

3) (I) en (II)
2xº > 180º  2xº
4xº > 180º
xº > 45º
4) El mínimo valor entero de “x” es 46º
x = 46º ......... (III)

5) (III) en (I)
yº = 180º 2(46º)
yº = 88º
RPTA.: C

18. Se tiene  un  triángulo  ABC,  se  trazan  la altura AH y la  bisectriz  interior CP intersectandose en “O” . Si: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule  el máximo  valor entero de AD , si  AC  toma  su  mínimo  valor  entero, además  “D”  es un  punto  exterior  al triángulo ABC.

A) 20 B) 21 C) 23
D) 25 E) 27

RESOLUCIÓN


Del  gráfico:   > 90º (obtuso)
AOC:
12 < AC < 16

 ACmin= 13; porque: AC² > 4² + 12²
ADC:
2 < x < 28

 xmax = 27
RPTA.: E

19. En un triángulo ABC, S y R son puntos que pertenecen a   y   respectivamente. Si : AC=AS=RC, mSAR=10° y mRAC=50°. Calcule mSRA.

A) 20° B) 30° C) 40°
D) 25° E) 15°

RESOLUCIÓN
Se une S y C  ASC equilátero SRC  isósceles


 x +  50° = 80°
                 x = 30°
RPTA.: B

20. Se  tiene un triángulo  equilátero ABC, se  ubica el  punto  “D”  exterior  y relativo  al lado  BC. Si: mCBD - m DAC = 30° y mADC=10°.
Calule: mCAD.

A) 5° B) 10° C) 15°
D) 18° E) 20°

RESOLUCIÓN

Como  la  m BDA = 30° es  la mitad  de la  m  ACB = 60°;  y  como  se  cumple  que: AC = CB , entonces:

AC = CB = CD
mCBD = mCDB
 x+30°   =     40°      x = 10°

 m  CAD = x = 10°

RPTA.: B

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TRIÁNGULOS II EJERCICIOS DESARROLLADOS IMPRIMIR GRATIS

 

1. En un triángulo ABC donde
m C=30º, AC=12 y AB=10. Calcule m A (m B>90º)

A) 7º B) 8º C) 12º
D) 13º       E) 15º<

RESOLUCIÓN
Se construye AsC: notable
RPTA.: A

2. En  un  triángulo   obtusángulo ABC obtuso  en B, se traza la ceviana interior BF tal que:
m BAC=2m BCA, m FBC=90º, AC=24 y AB =10. Calcule AF.

A) 5 B) 3 C) 4
D) 6 E) 2

RESOLUCIÓN
FBC:
Se traza la mediana BM
 ABN: Isósceles
x = 24  20 = 4
RPTA.: C

3. En un triángulo ABC se traza la mediatriz de   que intercepta al lado   en “P”. Calcule el máximo valor entero de AB si BP=8 y PC=12.

A) 17 B) 19 C) 20
D) 22 E) 24

RESOLUCIÓN
i) Por mediatriz de AC
AP = PC = 12
ii) ABP: existencia
x < 20
x = 19

RPTA.: B

4. En un triángulo ABC donde AC=25, se traza   perpendicular a la bisectriz interna del ángulo A, luego se une el punto medio “M” de   con “E”, calcule AB si EM=4

A) 18 B) 15 C) 16
D) 17 E) 21

RESOLUCIÓN
 

Se prolonga   hasta “P”
      = x
BPC: PC = 8
 x = 17
RPTA.: D


5. Calcule “x” en la figura si:
AB = BE y BC =BD

A) 30º
B) 45º
C) 50º
D) 53º
E) 20º

RESOLUCIÓN

i)
m BAD = m BEC = 
ii) Por propiedad:
   
  x=45º
RPTA.: B

6. En un triángulo rectángulo ABC donde mB= 90º, mC = 22º 30’, AC=20. Calcule la distancia del punto medio de   a la hipotenusa.

RESOLUCIÓN
Se traza la mediana BM y la altura BH
BHM: notable (45º)
 
RPTA.: D

7. En un triángulo ABC donde m B=150º, m c =10º y la distancia de “C” a la bisectriz del ángulo “A”  es 4. Calcule AB.

A) 4 B) 6 C) 8
D) 10 E) 2

RESOLUCIÓN

Se traza la altura AT

     (ALA)
 = CH

RPTA.: C

8. En   un triángulo  ABC  donde   m A = 48º, se traza la ceviana          interior BM tal que: m ABM =18º y AB = MC.  Calcule m C.

A) 18º B) 28º C) 37º
D) 48º E) 66º

RESOLUCIÓN
Se traza BP = BM
(L.A.L.)
   m =m =48º

RPTA.: D

9. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, “F” es el excentro relativo al lado AC. Calcule FB si la distancia de “F” a AC es 6.

A)   B) 9 C) 12
D)         E) 8

RESOLUCIÓN
El excentro edidista de los lados
BPF
x = 6

RPTA.: D


10. En la figura: ABCD es un cuadrado, las distancias de “B” y “C” a   son “b” y “c” respectivamente. Calcule la distancia de “D” a  .
RESOLUCIÓN
Triángulos rectángulo congruentes.
x = b  c

RPTA.: C

11. Se  tiene   el   cuadrilátero    ABCD donde  AB=BC, BD=AC y m CAD = 90º. Calcule m BDA.

A) 37º B) 45º C)60º
D) 53º E) 30º


RESOLUCIÓN

i) Se construye PCD
BH  PD
2BHD = AC = 2a
BHD : notable x = 30º

RPTA.: E

12. En el triángulo rectángulo ABC (m B=90º)  donde AB=BC, se ubica el punto interno “P” siendo: m PAB=m PCA y AB=AP. Calcule: m PAC

A) 10º B) 15º C) 18º
D) 20º E) 24º

RESOLUCIÓN

   notable (30º, 60º)
  = 30º
APC: x + 30º =45º
  x = 15º
RPTA.: B


13. Calcule “x” en la figura.

A) 30º B) 32º C) 35º
D) 40º E) 45º

RESOLUCIÓN


i) Se traza CH AD
 CH = 8
ii) ACD: Propiedad
x = 30º
RPTA.: A

14. Calcule “x”. Si: AB=DC

A) 40º B) 35º C) 32º
D) 30º E) 25º

RESOLUCIÓN
i) Se traza bisectriz: AP
ii) Se traza PD  ABPD: Inscriptible
 ABP   PDC...............(L.A.L.)
ABP:
4x + 40º = 180º
4x = 140
 x = 35º
RPTA.: B

15. En el triángulo rectángulo ABC   donde AB = BC, se considera  interiormente  el punto “P” siendo  AP  =  BC   y  m   =15º. Calcule m

A) 20º B) 25º C) 30º
D) 35º E) 40º

RESOLUCIÓN

i) Se construye AEC: equilátero
  
 x= 30º
RPTA.: C

16. En  la  figura,   calcule “BC”  si: AB =13,  AE = 3 y AF = FC.

A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20

RESOLUCIÓN
i) Se traza OP      BC
ii)
Por Bisectriz: OE = OP
  EB = BP = 16
iii) Por mediatriz: OA = OC

AEO     OPC
 EA=PC=3

RPTA.: D

17. En el triángulo ABC se traza la ceviana BQ que intercepta a la mediana AP en su punto medio “N” , luego se ubica el punto medio “E” de   tal que   intercepta a   en el punto M. Calcule: MN si BQ= 24

A) 6 B) 3 C) 2
D) 8 E) 5

RESOLUCIÓN

i) Se traza PF//BQ
PAF
PF = 2NQ = 2b
BQC
BQ = 2PF = 4b
ABP: “M”: Baricentro
 MB = 2MN = 2x
b = x
 x =
RPTA.: A

18. En   la   figura:  AB  = BC, m ABC = 40º, m DBA = 20º y m DAB = 10º. Calcule: m ACD.
A) 40º B) 45º C) 48º
D) 50º E) 54º

RESOLUCIÓN

i) Se traza la altura BH
ii) Se construye AED(notable)
iii) Propiedad bisectriz
AE = AH = a
iv) DAC: Isósceles: 2x = 100º
x = 50º
RPTA.: D

19. Calcule “” en la figura:
Si: AD = BC
A) 10º B) 12º C) 15º
D) 18º E) 20º

RESOLUCIÓN
i) Se construye
APD BDC....(L.A.L.)
ii)   (Isósceles)
3+3+6=180º
12=180º
  =15º
RPTA.: C

20. En  la  figura AB = PC, BF = FC, AE = EP. Calcule “x”.

A) 18º B) 19º C) 20º
D) 22º E) 24º

RESOLUCIÓN

i) Propiedad mediatriz: BQ = QC y AQ = QP
  (L.L.L.)

m QCP =m ABQ=2x

ABC:5x = 90º

RPTA.: A

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POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS EJERCICIOS DESARROLLADOS IMPRIMIR GRATIS

 

1. Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos.

A) 20 B) 27 C) 35
D) 44 E) 55

RESOLUCIÓN
Dato: NºDiag.= 4(Nº s internos)

Piden: NºDiag.Medias=
Reemplazando en el dato:
 D.M. =
RPTA.: E

2. Se tienen los polígonos regulares ABCDE y ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto a  , Calcule: .

A) 72º B) 45º C)  20º
D) 24º E) 27º

RESOLUCIÓN

Externo
*  Piden  x=?
En el Octógono:

En el Pentágono

x=27º
RPTA.: E

3. Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN… están ubicados en distintos semiplanos respecto a   Calcule:  

A) 72º B) 36º C) 24º
D) 69º E) 60º

RESOLUCIÓN

  42º
 x = 69º
RPTA.: D

4. 9 es un número de diagonales que se pueden trazar desde 5 vértices consecutivos de un polígono regular de “n” lados. Calcule “n”.

A) 5 lados B)7 lados
C) 6 lados D) 8 lados
E) 9 lados

RESOLUCIÓN

Piden: Nº lados =n=?

Dato: Nº Diag. Trazados
Desde 5 vértices =9

* Recordando:
Nº Diag. Trazados desde
“k” vértices consecutivos =
En un polígono de “n” lados.
* Reemplazando:
  n = 6
  RPTA.: C

5. Calcule la suma de las medidas de los ángulos  internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si          

A) 540º B) 720º C) 900º
D) 1080º E) 1260º


RESOLUCIÓN


Dato:          
Piden:
*  ..............(L.A.L.)
 

En

 

RPTA.: D

6. En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º.

A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN

Piden: máx. Nº si=100º
* Para
 
* Para
* Para
(Esto es imposible)

Por que:
  A lo máximo
Solo se pueden conseguir 4 ángulos.
RPTA.: B

7. Calcule el perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH,
AB=EF= ; , 3,   y GF=8.

A)   B)  
C)   D)  
E)

RESOLUCIÓN


Pide: Perímetro octógono=?
* Calculando:
-  
- Se determinan 4 triángulos notables de 45º y un rectángulo.

  PQ=RS=6
 RD=3 y CD=

  PS=QR=11
 BC=6
Perímetro=
RPTA.: E

8. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes.

A) 190º B) 200º C) 210º
D) 220º E) 230º

RESOLUCIÓN


Dato:
Piden:
* Se sabe:
*

Reemplazando en (I)
140º +

RPTA.: D

9. En un polígono regular cuyo semi-perímetro es p, el número que expresa su perímetro es el igual  al número de diagonales. Además la medida del ángulo interior es p veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuánto mide el lado del polígono regular?  


RESOLUCIÓN

* Sea “n” es Nº lados.
Datos: semiperímetro: “p”=
* 2p=Nº Diagonales=
*
Piden: x=?

Reemplazando en los datos:
 
(I) =(III)


Reemplazando:”p” en (III)

RPTA.: D

10. Si un polígono de n lados tuviera (n-3) lados, tendría (n+3) diagonales menos. ¿Qué polígono  es?

A) Triángulo B) Cuadrilátero
C) Pentágono D) Hexágono
E) Octógono

RESOLUCIÓN
Piden: “n” (¿Qué polígono es?)
Dato: Para: “n” lados
Nº Diagonales. = -(n+3)
Reemplazando el Nº lados en el 2do polígono
 
Resolviendo:
     (Hexágono)
RPTA.: D

11. Por el vértice B de un triángulo ABC, se traza una recta exterior. Calcule la distancia del punto medio de la mediana BM a la recta, sabiendo que las distancias de los vértices A y C a dicha recta miden 8  y 12  respectivamente.

A)2 B) 10 C) 3
D)5 E) 7

RESOLUCIÓN
Dato: AH=8
CQ=12
Piden: NR =x=P

* En el trapecio AHQC:
Trazamos la base media MP

* (Base media)

x = 5
RPTA.: D

12. Las distancias de los vértices A y B de un triángulo ABC a una recta que pasa por su baricentro miden 3 y 4 respectivamente; calcule la distancia del vértice C a dicha recta. La recta intercepta a   y  .

A)7 B)5 C) 3
D) 8 E)1


RESOLUCIÓN

Dato: AH=3
BQ=4
“G” Baricentro
BG=2GM = 2m
Piden: CP=x
* En el trapecio AHPC (trazamos la base media:
* En el BQG(NS=2); MR =NS=2

Luego:
En (I)

 x=1
RPTA.: E

13. En un trapecio ABCD,  P y Q son puntos medios de   y  ;   = ,   .La prolongación de   intercepta a  en G, BC=a, AD=50, calcule 2EF+GD.
RESOLUCIÓN
Dato: AD=50
Piden: 2EF+GD
2(x)+y=?
* (Base media)
AG=2X
  AD=2x+y
2x+y=50
RPTA.: D

14. En un trapecio ABCD  , las bisectrices interiores de los ángulos A y B se interceptan en P y las bisectrices interiores de los ángulos C y D se interceptan en Q. Calcule la longitud del segmento PQ si AB=6 , BC=4, CD=8, AD=10

A) 1 B) C) 0
D) 2 E)  

RESOLUCIÓN
Dato: AB=6
BC=4
CD=8
AD=10
Piden: PQ=x=?

* ABN (Isósceles)
AM=6 y ND=4

* MCD (Isósceles)
MD=8MN=4
*   BCNM:
x=0
RPTA.: C

15. En un trapecio ABCD, y se ubica el punto medio M de B, tal que   y se traza  . Si  ,   y   toma su máximo valor entero, calcule  .

A) 37º B) 53º C)
D)     E) 30º

RESOLUCIÓN

Dato: BC=1
AD=4
“CH” es máximo entero

Piden:

* Trazamos la base media
  CD = 5
(Isósceles)
ND=NC=2,5  CD 5
* CHD: CH < 5
 CH = 4
* (53,37º)
  =
RPTA.: D

16. En un triángulo ABC; AB=5 y BC=30; Calcule la distancia del punto medio de   hacia la bisectriz del ángulo ABC; si  .

A) 10 B)8 C)6
D) 4 E) 12

RESOLUCIÓN

Dato: BC=30
AB=5
m
Piden: MN=x=?
* Trazamos:    
   
* ABH y   CBQ (37º, 53º)
   y   =24

* Trapecio: AHCQ (propiedad)

RPTA.: A

17. Calcule la medida del ángulo que forman las diagonales de un trapecio isósceles; si una diagonales el doble de la base media.

A) 60º B) 45º C) 30º
D) 53º E) 37º

RESOLUCIÓN

Dato:
Pide: x=?

* Trazamos:
 (Paralelogramo)



 (Equilátero)
 x = 60º
RPTA.: A

18. Calcule la longitud de la base media de un trapecio isósceles, si las diagonales forman 106º y tienen por longitud 5m c/u.

A) 3 B) 4 C) 6
D) 8 E) 5

RESOLUCIÓN
Datos: :Trapecio Isósceles

Pide:(Longitud de la base media) = x

* Trazamos
     BCMD (Paralelogramo)
DM=a; CM=5

RPTA.: B

19. En un cuadrado ABCD, de lado 6, en  y   se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que CM=MD. Si la  . Calcule MN.  

A) 3 B)4 C)
D)   E) 5


RESOLUCIÓN

Dato: AB=BC=6
CM=MD=3


Piden: MN=x=?
* (notable)
 
*  
AN=2 ND=4
* (37º, 53º)
 x=5
RPTA.: E

20. Un trapecio rectángulo ABCD, es recto en A y B. Si:
    y BC =b. Calcule AC.

A) a+b B) C) 2a-b
D) a-b E) 2a+b


RESOLUCIÓN

Dato: BC=b
AD=a


Piden: AC=x=?

* Construimos el rectángulo
ABQD
 
(Isósceles)
CQ=AC=x
Luego:  BQ  = AD
  b+x=a
   x=a-b  
RPTA.: D

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